[論文レビュー] Fibered commensurability and arithmeticity of random mapping tori

Hidetoshi Masai|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限型の曲面の写像類群上の無作為なランダムウォークについて、そのファイバー化分岐同倫類内での非最小写像類を生成する確率が指数関数的に減少することを確立する。その結果、無作為なランダムウォーク測度にやや弱い条件下で、アーベル的または非対称な双曲的3次元多様体（写像トーラスを介して得られるもの）を生成する写像類の集合は、それぞれ指数関数的に小さく、または大きくなる。

ABSTRACT

We consider a random walk on the mapping class group of a surface of finite type. We assume that the random walk is determined by a probability measure whose support is finite and generates a non-elementary subgroup $H$. We further assume that $H$ is not consisting only of lifts with respect to any one covering. Then we prove that the probability that such a random walk gives a non-minimal mapping class in its fibered commensurability class decays exponentially. As an application of the minimality, we prove that for the case where a surface has at least one puncture, the probability that a random walk gives mapping classes with arithmetic mapping tori decays exponentially. We also prove that a random walk gives rise to asymmetric mapping tori with exponentially high probability for closed case.

研究の動機と目的

• 写像類群上のランダムウォークの下で、ファイバー化分岐同倫類内の最小要素の集合が指数関数的に大きいことを証明すること。
• 穴をもつ曲面の場合、アーベル的写像トーラスを生成する確率が指数関数的に減少することを示すこと。
• 閉曲面の場合、非対称写像トーラスを生成する確率が指数関数的に高いことを確立すること。
• 幾何的群論とランダムウォーク技法を用いて、無作為な擬アノソフ要素に関する結果を、ファイバー化分岐同倫と整数論的性質へと拡張すること。

提案手法

• 有限で非自明かつ上昇を支持しない測度 $\mu$ を持つ写像類群 $\mathrm{Mod}(S)$ 上のランダムウォークを用いる。
• 曲面複体における移動長の成長推定を用いて、原始的要素の集合が指数関数的に大きいことを証明する。
• 射影的測度付き foliation 空間における固定点を分析することで、任意の有限被覆に関して上昇可能な要素（対称的要素）が指数関数的にまれであることを確立する。
• ファイバー化分岐同倫類内での最小要素の一意性を応用し、整数論的性質の問題を最小要素の共役類に還元する。
• Bowditch-Maclachlan-Reid の結果を応用し、アーベル的多様体の有限分岐同倫類を用いて、アーベル的トーラスを生成する最小要素の数を上界で制御する。
• Bachman-Schleimer の定理を用いて、閉曲面では非対称写像トーラスが指数関数的に起こりやすいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな写像類がそのファイバー化分岐同倫類内で最小である確率の漸近的確率は何か？
• RQ2 少なくとも1つの穴をもつ曲面の場合、ランダムな写像類の中でアーベル的写像トーラスを生成する確率はどの程度か？
• RQ3 閉曲面のランダムなトーラスが非対称である確率は何か？
• RQ4 ランダムウォーク測度にどのような条件下で、ランダムな写像類が指数関数的に高い確率で最小になるか？
• RQ5 ランダムな写像類のファイバー化分岐同倫類は、関連する擬アノソフ要素の幾何的・力学的性質によって特徴付けられるか？

主な発見

• 条件 1.2 を満たす任意の測度 $\mu$ に対して、写像類群内の原始的要素の集合は指数関数的に大きい。
• 同じ測度の下で、任意の有限被覆に関して上昇可能な要素（対称的要素）の集合は指数関数的に小さい。
• 原始的であることと非対称であることの結果として、そのファイバー化分岐同倫類内での最小要素の集合は指数関数的に大きい。
• 少なくとも1つの穴をもつ曲面の場合、アーベル的写像トーラスを生成する写像類の集合は指数関数的に小さい。
• 閉曲面の場合、非対称写像トーラスを生成する写像類の集合は指数関数的に大きい。
• アーベル的写像トーラスを生成する最小要素の共役類の数は有限であり、したがってそのような要素の移動長に一様な上界が存在する。