[論文レビュー] Fibrations and Yoneda's lemma in an $\infty$-cosmos

Emily Riehl, Dominic Verity|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、∞-コスモスにおける高次の圏論の抽象的枠組みを構築し、クリティカルファイブレーションを導入し、代表的ファイブレーションからの写像の準拠カテゴリとそのファイバーの準拠カテゴリとの間の同値性を確立するヤノーデの補題を証明する。このアプローチは、∞-コスモスのホモトピー2カテゴリにおける2-圏的道具立てを用いて、(∞,1)-圏論のモデルに依存しない基盤を提供する。これはジョイアルおよびルーリエの業績を一般化しつつ、弱同値を保存する。

ABSTRACT

We use the terms $\infty$-categories and $\infty$-functors to mean the objects and morphisms in an $\infty$-cosmos: a simplicially enriched category satisfying a few axioms, reminiscent of an enriched category of fibrant objects. Quasi-categories, Segal categories, complete Segal spaces, marked simplicial sets, iterated complete Segal spaces, $θ_n$-spaces, and fibered versions of each of these are all $\infty$-categories in this sense. Previous work in this series shows that the basic category theory of $\infty$-categories and $\infty$-functors can be developed only in reference to the axioms of an $\infty$-cosmos; indeed, most of the work is internal to the homotopy 2-category, a strict 2-category of $\infty$-categories, $\infty$-functors, and natural transformations. In the $\infty$-cosmos of quasi-categories, we recapture precisely the same category theory developed by Joyal and Lurie, although our definitions are 2-categorical in natural, making no use of the combinatorial details that differentiate each model. In this paper, we introduce cartesian fibrations, a certain class of $\infty$-functors, and their groupoidal variants. Cartesian fibrations form a cornerstone in the abstract treatment of "category-like" structures a la Street and play an important role in Lurie's work on quasi-categories. After setting up their basic theory, we state and prove the Yoneda lemma, which has the form of an equivalence between the quasi-category of maps out of a representable fibration and the quasi-category underlying the fiber over its representing element. A companion paper will apply these results to establish a calculus of modules between $\infty$-categories, which will be used to define and study pointwise Kan extensions along $\infty$-functors.

研究の動機と目的

• ∞-コスモスの公理的枠組みを用いて、(∞,1)-圏論のモデルに依存しない基盤を確立すること。
• ∞-コスモスにおけるクリティカルファイブレーションおよびその群体的変種の理論を導入し、発展させること。
• この抽象的設定においてヤノーデの補題を定式化し、証明することにより、準拠カテゴリにおける古典的結果を一般化すること。
• ∞-圏におけるモジュールおよび点ごとのケン拡張の計算の基盤を提供すること。

提案手法

• モデルカテゴリにおけるファイブレーション対象のホモトピー的性質を捉える公理を満たす、単体的充実カテゴリとしての∞-コスモスを形式化すること。
• ホモトピー2カテゴリを用いて、2-圏的概念（例えば随伴、極限、自然変換）をホモトピー的同値まで内蔵すること。
• 2-セルに関する上昇性質を満たす関手としてクリティカルファイブレーションを定義し、準拠カテゴリおよびセガル空間における概念を一般化すること。
• 2ファンクターの性質を用いて、クリティカルファイブレーションの引き戻しを構成し、ベースチェンジに関して安定であることを証明すること。
• ホモトピー2カテゴリにおけるコンmaおよびアイソコンma対象を用いて、普遍的性質を分析し、ヤノーデの補題を確立すること。
• 随伴、1-セルおよび2-セルの帰納法、およびクリティカルな上昇の保存性を用いた2-圏的証明により、ヤノーデの補題を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、∞-コスモス内においてモデルに依存しない方法でクリティカルファイブレーションを定義し、研究できるか。
• RQ2 ∞-圏が∞-コスモスによって定義される文脈において、ヤノーデの補題の正しい定式化は何か。
• RQ3 クリティカルファイブレーションの引き戻しはどのように振る舞い、ベースチェンジに関して安定か。
• RQ4 ∞-コスモスのホモトピー2カテゴリは、高次の圏論を展開する普遍的設定として機能できるか。
• RQ5 2-圏的構造は、(∞,1)-圏論の本質的特徴を捉える上で果たす役割は何か。

主な発見

• ヤノーデの補題は∞-コスモスの文脈で成立する：代表的ファイブレーションからの関手の準拠カテゴリとそのファイバーの準拠カテゴリとの間に自然な同値が存在する。
• 任意の関手に沿ったクリティカルファイブレーションの引き戻しは保存され、∞-コスモス内での安定性が確立される。
• ヤノーデの補題の証明は、ホモトピー2カテゴリにおけるコンma対象および随伴を用いた2-圏的構成に依拠しており、単位および余単位の三角恒等式の明示的検証が行われている。
• クリティカル2-セル上昇性質は、1-セルおよび2-セルの帰納法により特徴付けられ、上昇の一意性および保存性が保証される。
• ∞-コスモス内の弱同値は、ホモトピー2カテゴリにおける2-圏的同値に正確に対応し、ホモトピー的不変性が保持される。
• 本研究の結果は、同伴論文で計画された通り、∞-圏におけるモジュールおよび点ごとのケン拡張の計算の基盤を提供する。