[論文レビュー] On the Unicity of the Homotopy Theory of Higher Categories

Clark Barwick, Christopher Schommer‐Pries|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 66

ひとこと要約

この論文は、5つの構造的公理—強い生成、弱い生成、対応のための内部Homs、基本的プッシュアウト、およびバーチャリティ—を用いて、$(\infty,n)$-圏のホモトピー理論の一意性定理を確立する。すべての既知のモデル（例：Rezkの完全セガール$\Theta_n$-空間、$n$重完全セガール空間、および他のモデル）がこれらの公理を満たしており、したがって$(\mathbb{Z}/2)^n$の作用を除いて一意的に同値であることが示される。このような理論のモジュライ空間が$B(\mathbb{Z}/2)^n$であることが証明され、$(\infty,n)$-圏の標準的かつ本質的に一意なホモトピー理論が確認される。

ABSTRACT

We axiomatise the theory of $(\infty,n)$-categories. We prove that the space of theories of $(\infty,n)$-categories is a $B(\mathbb{Z}/2)^n$. We prove that Rezk's complete Segal $Θ_n$-spaces, Simpson and Tamsamani's Segal $n$-categories, the first author's $n$-fold complete Segal spaces, Kan and the first author's $n$-relative categories, and complete Segal space objects in any model of $(\infty,n-1)$-categories all satisfy our axioms. Consequently, these theories are all equivalent in a manner that is unique up to the action of $(\mathbb{Z}/2)^n$.

研究の動機と目的

• 最小限の構造的公理の特定により、$(\infty,n)$-圏の標準的かつ一意なホモトピー理論を確立すること。
• Rezkの完全セガール$\Theta_n$-空間や$n$重完全セガール空間などの、異なるモデルを共通の公理的枠組みの下で統一すること。
• すべてのこのような理論の空間が分類空間$B(\mathbb{Z}/2)^n$をなすことを証明し、モデル間の同値がこの群の作用を除いて一意的であることを示すこと。
• セルを保存する導来函手によって誘導されるQuillen同値性を介して、モデル圏が$(\infty,n)$-圏のモデルであることを認識するための原理を提供すること。
• GepnerとHaugsengの結果を活用し、$(\infty,n)$-圏への拡張を介して、$(\infty,n+1)$-圏への一意性結果を拡張すること。

提案手法

• 強い生成、弱い生成、対応のための内部Homs、基本的プッシュアウト（ガント$n$-圏における有限個のプッシュアウト図式により定義）、およびバーチャリティの5つの公理を用いて、$(\infty,n)$-圏の理論を公理化すること。
• ガント$n$-圏の圏を普遍的なセル生成集合として用い、$k$-セル$C_k$を任意の$n$-圏への普遍的函手として表すこと。
• 公理を満たすモデル間の同値の空間を解析することで、理論のモジュライ空間が$B(\mathbb{Z}/2)^n$であることを証明し、それが連結で基本群が$(\mathbb{Z}/2)^n$であることを示すこと。
• すべての主要モデル—Rezkの完全セガール$\Theta_n$-空間、$n$重完全セガール空間、$n$-相対圏、および$(\infty,n-1)$-圏における完全セガール空間対象—が公理を満たしていることを検証すること。
• 認識原理を確立：$(\infty,n)$-圏のモデル圏間のQuillen随伴が、左導来函手が弱同値を保つセル（すなわち$k$-セル$C_k$）を保存するときかつそのときに限りQuillen同値である。
• 認識原理を適用して、主要なQuillen随伴（例：セガール$n$-圏と$n$重完全セガール空間の間）がQuillen同値であることを示し、モデルの同値性を確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\infty,n)$-圏のホモトピー理論は同値を除いて一意的か？ もしそうなら、その同値の空間はどのようなものか？
• RQ2 Rezkの完全セガール$\Theta_n$-空間や$n$重完全セガール空間などの、既知のすべてのモデルが共通の構造的公理を満たしているか？
• RQ3 異なる$(\infty,n)$-圏モデル間の同値性は、明確に定義された群の作用を除いて一意的と特徴づけられるか？
• RQ4 $(\infty,n)$-圏のモデル圏間のQuillen随伴がQuillen同値であるかどうかを判定する一般的な基準はあるか？
• RQ5 $(\infty,n)$-圏の一意性は、$(\infty,n)$-圏への拡張を介して、$(\infty,n+1)$-圏に対しても一意性をもたらすか？

主な発見

• $(\infty,n)$-圏の理論のモジュライ空間は$B(\mathbb{Z}/2)^n$である。これは、任意の2つのこのような理論間の同値の空間が連結で基本群が$(\mathbb{Z}/2)^n$であることを意味し、同値性がこの作用を除いて一意的であることを示している。
• Rezkの完全セガール$\Theta_n$-空間、$n$重完全セガール空間、$n$-相対圏、および$(\infty,n-1)$-圏における完全セガール空間対象を含む、すべての既知の$(\infty,n)$-圏のモデルが5つの公理を満たしており、標準的な方法で同値であることが確認された。
• 一意性定理により、$(\infty,n)$-圏の$(\infty,n+1)$-圏も一意的であることが示される。GepnerとHaugsengの結果を用いて、$(\infty,n)$-圏に倣った圏の拡張が$(\infty,n+1)$-圏のモデルをなすからである。
• 認識原理が確立された：$(\infty,n)$-圏のモデル圏間のQuillen随伴が、左導来函手がセル（すなわち$k$-セル$C_k$）を弱同値を介して保存するときかつそのときに限りQuillen同値である。
• セガール$n$-圏と$n$重完全セガール空間の間の標準的Quillen随伴は、導来函手がセルを保存するため、Quillen同値である。
• 注入型および射影型の$\Theta_n$-豊かにされたセガール圏のモデル圏、および$\Theta_n$-空間に豊かにされた圏のモデル圏は、互いにQuillen同値であり、すべて$(\infty,n)$-圏をモデル化している。