[論文レビュー] Fiedler Vectors and Elongation of Graphs: A Threshold Phenomenon on a Particular Class of Trees

Julien Lefèvre|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2013

Graph theory and applications参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ローズツリーと呼ばれるパラメトリックな木の族におけるFiedler極値径路長（FED）性質を調査し、小さなpではFiedlerベクトルが図の径路長を正しく特定するが、大きなpでは失敗することを示す閾値現象を証明する。解析的に、FEDが成立するのは、星型分岐数pが、経路長sとtに依存する臨界閾値未満である場合に限られ、s=tのときにはsの2乗に比例して増大するが、sが固定されてtが増加する場合には有界のまま保たれることを示している。

ABSTRACT

Let $G$ be a graph. Its laplacian matrix $L(G)$ is positive and we consider eigenvectors of its first non-null eigenvalue that are called Fiedler vector. They have been intensively used in spectral partitioning problems due to their good empirical properties. More recently Fiedler vectors have been also popularized in the computer graphics community to describe elongation of shapes. In more technical terms, authors have conjectured that extrema of Fiedler vectors can yield the diameter of a graph. In this work we present (FED) property for a graph $G$, i.e. the fact that diameter of a graph can be obtain by Fiedler vectors. We study in detail a parametric family of trees that gives indeed a counter example for the previous conjecture but reveals a threshold phenomenon for (FED) property. We end by an exhaustive enumeration of trees with at most 20 vertices for which (FED) is true and some perspectives.

研究の動機と目的

• グラフのFiedlerベクトルが図の径路長を正確に特定できるかどうかを調査し、スぺクトルグラフ理論におけるある予想に答える。
• s、t、pという3つのパラメータで定義される特定の木のクラスであるローズツリーR(s,t,p)におけるFED（Fiedler極値径路長）性質を分析する。
• Fiedlerベクトルの極値点が図の径路長の両端にある条件を解析的に確立し、FEDが成立しなくなるpの閾値が存在することを示す。これは、図が非常に細長い構造であっても成り立つ。
• Fiedler極値径路長性質を満たすか満たさないかをすべての自由木（20頂点以下）に対して完全に列挙する。
• n→∞の漸近的密度として、FEDを満たさない木の割合が0でない極限を持つことを示唆する。

提案手法

• FED性質を定義：グラフがFEDを満たすとは、Fiedlerベクトルが正確に2つの極値を持ち、それらの間の距離が図の径路長に等しいことである。
• ローズツリーR(s,t,p)を定義：長さs+t+1の経路の中央がp本の分岐を持つ星型構造に接続され、経路と星型構造のハイブリッドである。
• スぺクトルグラフ理論を用いてラプラシアン行列とその2番目に小さい固有値（代数的連結度α(s,t,p)）を分析し、Fiedlerベクトルの極値点が経路の両端にある条件を導出する。
• 多項式近似法を適用して特性多項式の比を評価し、pが大きい場合にはFiedlerベクトルがもはや経路の両端で極値を取らないことを証明する。
• 再帰的バウンディングと単調性の議論を用いる：α(s,t,p)はpの増加とともに減少し、pが臨界値f_M(s,t)を超えるとFED性質は成立しなくなる。
• 既知のC言語ベースのアルゴリズムを用いて、≤20頂点のすべての自由木を体系的に列挙し、FEDを満たさない木の割合を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パrameter (s,t,p) がどのような値のとき、ローズツリーR(s,t,p)のFiedlerベクトルが図の径路長を正しく特定するか？
• RQ2 星型分岐数pの閾値が存在し、それが図の経路が非常に長くなってもFED性質が失われる場合があるか？
• RQ3 sを固定したとき、tが増加するに従い、臨界閾値f_M(s,t)はどのように振る舞うか、特にsが固定されている場合の挙動は？
• RQ4 n→∞のとき、FEDを満たさない木の漸近的密度はどのようになるか？
• RQ5 Fiedlerベクトルの極値点における頂点の追加・削除は、FED性質を保持するか、失うか？

主な発見

• ローズツリーR(s,t,p)において、FED性質はある関数f_m(s,t)に対してp ≤ f_m(s,t)のときのみ成立し、p > f_M(s,t)のときには失敗する。
• s = tのとき、閾値f_m(s,s) = f_M(s,s)は漸近的に~4s²/π²に比例し、経路長に二次的依存があることが示される。
• sを固定したとき、tに関するf_M(s,t)の上界は有界かつ有限であり、これは、いくらでも長い経路であっても、pが一定の閾値を超えるとFEDが失敗することを意味する。
• FEDを満たさない最小の木は12頂点で、R(3,3,4)である。この木の割合はnが増加するにつれてゆっくりと増加し、n=20で2.53%に達する。
• 数値的証拠から、s ≤ tのときf_m(s,t) = f_M(s,t)であり、f(s,t) ≤ s(s+1)/2 - 2であることが示唆され、これは閾値のタイトな上界を与える。
• 本稿は、FED性質が極値頂点に葉を追加することで保持され、削除することで失われる可能性があると予想しており、性質の構造的安定性を示唆している。