[論文レビュー] Field Theory on Noncommutative Space-Time and the Deformed Virasoro Algebra

Масуд Чайчиан, Andrey Demichev+1 more|ArXiv.org|Mar 29, 2000

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非可換な円筒上の自由スカラー場理論を構築することで、非可換時空間幾何と変形Virasoro代数の直接的な物理的関係を確立する。この理論は離散的時間発展を生じさせ、その対称性としてq-変形Virasoro代数を実現する。変形生成子の第二指数は、時空の非可換性に起因すると物理的に解釈され、以前は抽象的な数学的構造としてのみ知られていたものに、場の理論的起源を与える。

ABSTRACT

We consider a field theoretical model on the noncommutative cylinder which leads to a discrete-time evolution. Its Euclidean version is shown to be equivalent to a model on the complex $q$-plane. We reveal a direct link between the model on a noncommutative cylinder and the deformed Virasoro algebra constructed earlier on an abstract mathematical background. As it was shown, the deformed Virasoro generators necessarily carry a second index (in addition to the usual one), whose meaning, however, remained unknown. The present field theoretical approach allows one to ascribe a clear meaning to this second index: its origin is related to the noncommutativity of the underlying space-time. The problems with the supersymmetric extension of the model on a noncommutative super-space are briefly discussed.

研究の動機と目的

• 非可換時空間上での場の理論的文脈において、変形Virasoro代数の物理的実現を確立すること。
• 従来の抽象的な数学的構成では説明がつかなかった、変形Virasoro生成子の第二指数の物理的起源を解明すること。
• 非可換円筒上の場理論において、離散的時間発展が自然に生じることを示すこと。
• このモデルのユークリッド版とq-変形複素平面C_q上の理論との等価性を示すこと。
• 非可換スーパーサイクル上でのこのモデルのスレーブスケーリング拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• コンpactな空間方向におけるフーリエ展開を用いて、可換な円筒上の自由スカラー場理論を定式化する。
• 時空座標に非可換性を導入することで、場のダイナミクスに離散的時間発展が生じる。
• 場の作用から変換生成子T_k(ẑ)を導出し、それが変形Virasoro代数の関係を満たすことを示す。
• モデルのユークリッド版をq-変形複素平面C_qに写像し、その対称性代数が変形Virasoro代数に一致することを示す。
• q-変形オシレーターを用いたSugawara構成により、変形Virasoro生成子を実現し、Zamolodchikov-Faddeev代数と関連づける。
• 対称性構造を解析し、生成子の第二指数が時空の非可換性に直接起因することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空の非可換性は、円筒上での場理論の対称性代数にどのように現れるか？
• RQ2 従来の抽象的数学的構成では説明がつかなかった、変形Virasoro生成子の第二指数の物理的起源は何か？
• RQ3 変形Virasoro代数は、非可換ワールドシート上の物理的場理論から自然に生じるか？
• RQ4 非可換円筒上の場理論とq-変形複素平面上のモデルとの間に直接的な対応関係があるか？
• RQ5 非可換スーパーサイクル上でのこのモデルのスレーブスケーリング拡張にはどのような意味があるか？

主な発見

• 非可換円筒上の場理論は、時間順序付き場演算子の構造から、自然に離散的時間発展を生じさせることを示した。
• このモデルのユークリッド版は、対称性代数が変形Virasoro代数となるq-変形複素平面C_q上の理論と等価である。
• 変形Virasoro生成子の第二指数は、時空の非可換性に起因すると物理的に解釈され、抽象的定式化における長年の曖昧さが解消された。
• 変形Virasoro代数は、生成子T_k(ẑ)が[x]_+と[x]_-関数を含むq-変形交換関係を満たすことで、モデルの対称性代数として生じる。
• Zamolodchikov-Faddeev代数は、場の理論的構成を通じて物理的実現がなされ、抽象的な数学的構造が物理的場理論に根ざすようになった。
• 結果から、フェルミオン的実現と非可換スーパーサイクルを介したスレーブスケーリング拡張への自然な道筋が示唆され、対称性は量子スーパー代数によって記述される。