[論文レビュー] Fighting Fish: enumerative properties

Enrica Duchi, Veronica Guerrini+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、45°回転した単位正方形を接着して構成される戦うフィッシュ（fights fish）と呼ばれる新しい組合せ構造を導入し、左下の自由辺が i 個、右下の自由辺が j 個である戦うフィッシュの数について、正確な公式を確立する。主な結果は、既知の組合せ的対象（例えば根付き非分解可能マップや2スタック可換順列）のカウントと一致する閉形式の式であるが、明示的な双対写像（bijections）はまだ得られていない。

ABSTRACT

Fighting fish were very recently introduced by the authors as combinatorial structures made of square tiles that form two dimensional branching surfaces. A main feature of these fighting fish is that the area of uniform random fish of size $n$ scales like $n^{5/4}$ as opposed to the typical $n^{3/2}$ area behavior of the staircase or direct convex polyominoes that they generalize. In this extended abstract we concentrate on enumerative properties of fighting fish: in particular we provide a new decomposition and we show that the number of fighting fish with $i$ left lower free edges and $j$ right lower free edges is equal to \begin{equation*} \frac{(2i+j-2)!(2j+i-2)!}{i!j!(2i-1)!(2j-1)!}. \end{equation*} These numbers are known to count rooted planar non-separable maps with $i+1$ vertices and $j+1$ faces, or two-stack-sortable permutations with respect to ascending and descending runs, or left ternary trees with respect to vertices with even and odd abscissa. However we have been unable until now to provide any explicit bijection between our fish and such structures. Instead we provide new refined generating series for left ternary trees to prove further equidistribution results.

研究の動機と目的

• 戦うフィッシュと呼ばれる2次元組合せ的構造の新しいクラスを導入し、有向ポリオミノの一般化としての列挙的性質を調査すること。
• 中心的構造を基に再帰的に構成可能な、waso-waist 原理に基づく新たな分解法を考案し、構造的パラメータでフィッシュを分析すること。
• 左下自由辺と右下自由辺、尾の数、およびフィン長さに関して、戦うフィッシュの数の正確な公式を確立すること。
• 戦うフィッシュと根付き非分解可能マップや2スタック可換順列などの他の組合せ的対象との深い関係を調査すること。
• 複数のパラメータに関して、戦うフィッシュと左3分木の間で等分布が成立するという予想を提示し、双対写像による証明を求める。

提案手法

• 中心的部品からなる戦うフィッシュの新たな分解法を導入し、waso-waist 原理に基づく再帰的構成を可能にする。
• 左/右下自由辺、フィン長さ、尾の数といったパラメータを用いて、戦うフィッシュの精密な母関数を導出する。
• T(u)、B(u)、X という系列を含む代数的系を用いて母関数をパラメータ化し、3分木の既知の母関数と関連付ける。
• 関数方程式と級数恒等式を用いて、コアサイズ k とノードの横座標の偶奇に関して、左3分木の母関数と戦うフィッシュの母関数が一致することを証明する。
• Di Francesco と Kuba による j-正の木と母関数に関する既知の結果を活用し、明示的な表現を導出する。
• 母関数の関数方程式とべき級数展開における係数一致の検証により、母関数の整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左下自由辺が i 個、右下自由辺が j 個である戦うフィッシュの正確な数は何か？
• RQ2 戦うフィッシュの母関数は、左3分木や根付き非分解可能マップの母関数とどのように関係しているか？
• RQ3 戦うフィッシュと左3分木の間で等分布が成立するかどうか、明示的な双対写像によって証明できるか？
• RQ4 フィン長さと尾の数は、戦うフィッシュの精密な列挙において果たす役割は何か？
• RQ5 サイズ、フィン長さ、尾の数、および横座標の偶奇をすべて含む、戦うフィッシュと左3分木の公式の共通一般化は存在するか？

主な発見

• 左下自由辺が i 個、右下自由辺が j 個である戦うフィッシュの数は、(2i+j−2)!(2j+i−2)! / (i!j!(2i−1)!(2j−1)!) に正確に一致し、根付き非分解可能マップや2スタック可換順列の既知のカウントと一致する。
• サイズとフィン長さに関しての戦うフィッシュの母関数は、コアサイズとノードの横座標の偶奇に関しての左3分木の母関数と一致することが示された。
• 系3では、直接的な等分布が確立されている：n 個の頂点とk 個のコアノードを持つ左3分木の数は、サイズn でフィン長さk である戦うフィッシュの数に等しい。
• 本稿では、j-正の木に関する既知の結果を一般化する、生成関数 T_j(u) の関数方程式系を提示し、組合せ的モデルと整合していることを確認した。
• 戦うフィッシュの全結合分布（サイズ、フィン長さ、尾の数、左/右自由辺）が、コアサイズ、右枝、横座標の偶奇に関して左3分木と一致するという予想を提示した。
• 母関数と等分布に関する強い証拠があるが、戦うフィッシュとそれに対応する組合せ的構造との間で、まだ明示的な双対写像は構成されていない。