[論文レビュー] Filling in pattern designs for incomplete pairwise comparison matrices: (quasi-)regular graphs with minimal diameter

Sándor Bozóki, Zsombor Szádoczki+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2020

Multi-Criteria Decision Making参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、誤差の累積伝播を低減するために、直径が最小となる（準）正則グラフとしての比較をモデル化することで、不完全な対比較行列（PCMs）の最適なパターン設計を提案する。与えられた n（アイテム数）および k（各アイテムの比較回数）に対して、直径が最小となる k-正則および準正則グラフを同定し、好みの順位付けが比較ネットワーク内の長距離パスに起因する累積誤差の影響を受けるのを防ぐ。

ABSTRACT

Multicriteria Decision Making problems are important both for individuals and groups. Pairwise comparisons have become popular in the theory and practice of preference modelling and quantification. We focus on decision problems where the set of pairwise comparisons can be chosen, i.e., it is not given a priori. The objective of this paper is to provide recommendations for filling patterns of incomplete pairwise comparison matrices (PCMs) based on their graph representation. Regularity means that each item is compared to others for the same number of times, resulting in a kind of symmetry. A graph on an odd number of vertices is called quasi-regular, if the degree of every vertex is the same odd number, except for one vertex whose degree is larger by one. If there is a pair of items such that their shortest connecting path is very long, the comparison between these two items relies on many intermediate comparisons, and is possibly biased by all of their errors. Such an example was previously found, where the graph generated from the table tennis players' matches included a long shortest path between two vertices (players), and the calculated result appeared to be misleading. If the diameter of the graph of comparisons is low as possible (among the graphs of the same number of edges), we can avoid, or, at least decrease, such cumulated errors. The aim of our research is to find graphs, among regular and quasi-regular ones, with minimal diameter. Both theorists and practitioners can use the results, given in several formats in the appendix: graph, adjacency matrix, list of edges.

研究の動機と目的

• 長距離の最短パスによって引き起こされる、不完全な対比較行列（PCMs）における偏りのある好みの順位付けの問題に対処すること。
• 比較グラフの直径を低減することで誤差伝播を最小化し、間接的比較がより少ない中間ステップに依存することを保証すること。
• 完全な比較が非現実的である意思決定シナリオにおいて、最も情報量の多い比較パターンの選定に役立つ実用的なグラフ理論的提案を提供すること。
• 各アイテムが同じ回数だけ比較されるという対称性と公平性を確保するため、（準）正則グラフに焦点を当てること。
• n と k が小さいから中程度の範囲において、直径が最小となるグラフを体系的に同定・一覧化すること、特に d=2 および d=3 の場合に注目する。

提案手法

• アイテムを頂点、比較を辺とする無向グラフとして対比較をモデル化する。
• グラフ理論の概念を用いる：正則性（各頂点の次数が k であること）、準正則性（1つの頂点を除きすべての頂点が次数 k、1つの頂点が次数 k+1 であること）、直径（任意の2頂点間の最短パスのうち最長のもの）
• 与えられた n と k に対して、すべての可能なグラフの中から直径が最小となる（準）正則グラフを特定するための組合せ最適化を適用する。
• グラフ生成ツールおよび既存のデータベース（例：House of Graphs）を用いて、所望の性質を有する候補グラフを同定および検証する。
• 結果を複数のフォーマットで提示する：隣接行列、エッジリスト、Graph6形式。ソフトウェアでの即時利用を可能にする。
• 既知の問題例（例：スポーツデータにおける長径のグラフ）と比較することで、手法の妥当性を検証し、安定性の向上を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた頂点数 n および次数 k に対して、不完全な対比較行列における（準）正則グラフ構造の中で直径を最小化するのはどのようなものか？
• RQ2 長距離の間接的比較に起因する誤差伝播を低減するため、どのようにして体系的に比較パターンを生成・推奨できるか？
• RQ3 小さいから中程度の n に対して、k-正則または準k-正則グラフで達成可能な最小直径は何か？ また、どのグラフがそれらを達成するか？
• RQ4 星型グラフやスパニングツリーといった一般的なパターンと比較して、提案された最小直径（準）正則グラフは直径および正則性の観点でどのように異なるか？
• RQ5 実用的な意思決定支援ソフトウェアでの利用を想定して、最小直径（準）正則グラフを効率的に生成・表現することは可能か？

主な発見

• n=20 および k=5 の場合、直径 d=2 の (20,8)-非Cayley推移的グラフが同定され、複雑な構成においても最小直径が達成可能であることが示された。
• 本稿では、さまざまな n と k に対して、直径 d=2 および d=3 の（準）正則グラフの明示的構成を提供しており、それらが存在し、体系的に生成可能であることを示している。
• グラフの直径は誤差伝播を最小化する上で重要な要因である。直径が大きいグラフ（例：サイクル）では、間接的比較における誤差の蓄積が顕著になる。
• 星型グラフは直径が最小（d=2）であるが、正則でないため正則性制約下では最適ではない。本稿では、より優れた代替案が存在することを示している。
• 結果は、隣接行列、エッジリスト、Graph6 の複数のフォーマットで公開されており、意思決定支援システムへの即時実装を支援する。
• 本研究は、正則性と低直径の両方が望ましい性質であることを確認している。これらは、比較頻度の公平性と好み推定のロバスト性を保証する。