[論文レビュー] Filling inequalities for nilpotent groups

Robert M. Young|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2006

Finite Group Theory Research参考文献 21被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、幾何的測度論からの近似技法を用いて、特にジェット群および高次元ヘイゼンベルク群を含むべき群の高次元Dehn関数（埋め込み不変量）の鋭い上限と下限を確立している。フェデラー＝フラミングの変形定理をスケーリング自己同型と水平部分多様体の三角形分割と組み合わせることで、低次元ではユークリッド的埋め込み挙動、高次元では超ユークリッド的成長を示し、ヘイゼンベルク群に関するグロモフの予想を解決するとともに、任意のべき零クラスを持つ二次Dehn関数を有するべき群の構成に成功している。

ABSTRACT

We bound the higher-order Dehn functions and other filling invariants of certain Carnot groups using approximation techniques. These groups include the higher-dimensional Heisenberg groups, jet groups, and central products of two-step nilpotent groups. Some consequences of this work are a construction of groups with arbitrarily large nilpotency class that have euclidean n-dimensional filling volume functions, and a proof of part of a conjecture of Gromov on the higher-order filling functions of the higher-dimensional Heisenberg groups.

研究の動機と目的

• Carnot群、特にジェット群および高次元ヘイゼンベルク群の高次元埋め込み不変量（Dehn関数）の鋭い上限と下限を確立すること。
• 高次元ヘイゼンベルク群の埋め込み関数に関するグロモフの予想を解決すること。
• 高次のべき零クラスを持つべき群を、二次Dehn関数を有する形で構成することにより、高次のべき零クラスが大きなDehn関数をもたらすと予想される直観に反する事実を示すこと。
• サイクルの三角形分割と単体のスケーリングを用いた埋め込み不変量の境界を求める一般的手法の開発。

提案手法

• フェデラー＝フラミングの変形定理を用いて、べき群内の特異サイクルを複数のスケールで単体的サイクルに近似する。
• スケーリング自己同型 $ s_t $ を用いて三角形分割をスケーリングし、埋め込み構成における体積成長を制御する。
• ジェット空間におけるホロノミー写像を用いた三角形分割の構成により、ジェット群に対して体積が制御された埋め込みを生成する。
• 同次性 $ s_t^*\omega = t^d \omega $ を持つ不変微分形式 $ \omega $ を用いて、埋め込み体積の下界を導出する。
• 複数のスケール間の近似を結びつけて、有限個の単体的部品のスケーリングコピーから $ k $-球の埋め込みを構成する。
• 三角形分割 $ f $ に近い $ k $-水平写像 $ \phi $ の存在が、埋め込みの質量の制御を可能にすることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元ヘイゼンベルク群 $ H^{2k+1} $ は、グロモフが予想したように、$ i \leq k $ の次元でユークリッド的埋め込み関数を示すか？
• RQ2 既知の歪曲現象にもかかわらず、任意に大きなべき零クラスを持つべき群を、二次Dehn関数を有する形で構成可能か？
• RQ3 ジェット群 $ J^m(\mathbb{R}^k) $ の $ k $-次元Dehn関数 $ \operatorname{FV}^k(V) $ の正確な漸近的成長率は何か？
• RQ4 不変微分形式のスケーリング性が、べき群における埋め込み体積の下界にどのように影響するか？
• RQ5 べき群の中心的積の埋め込み不変量は、その構成群の構造にどの程度依存するか？

主な発見

• ジェット群 $ J^m(\mathbb{R}^k) $ に対して、$ i $-次元埋め込み体積関数は $ i \leq k $ のとき $ \operatorname{FV}^i(V) \sim V^{i/(i-1)} $ を満たし、これはユークリッド的成長率と一致する。
• $ i = k+1 $ のとき、$ \operatorname{FV}^{k+1}(V) \sim V^{(k+m+1)/k} $ であり、ジェット次数 $ m $ に依存する超ユークリッド的成長を示す。
• グロモフのヘイゼンベルク群 $ H^{2k+1} $ に関する予想は正当化された：$ i \leq k $ のとき $ \operatorname{FV}^i(V) \sim V^{i/(i-1)} $、$ \operatorname{FV}^{k+1}(V) \sim V^{(k+2)/k} $。
• 本稿では、任意のべき零クラスを持つ二次Dehn関数を有するべき群の構成に成功しており、高次のべき零クラスが大きなDehn関数をもたらすと予想される直観に反する。
• 閉じた不変形式 $ \omega $ を用いた下界は、$ s_t^*\omega = t^d \omega $ を満たし、適切な幾何的条件下で $ \operatorname{FV}^k(V) \succ V^{d/k} $ を示す。
• ジェット群 $ J^m(\mathbb{R}^k) $ に対して、上界と下界が一致する：$ i \leq k $ のとき $ \operatorname{FV}^i(V) \asymp V^{i/(i-1)} $、$ i = k+1 $ のとき $ \operatorname{FV}^{k+1}(V) \asymp V^{(k+m)/k} $ であり、推定値の鋭さが証明された。