[論文レビュー] Finding large induced sparse subgraphs in $C_{>t}$-free graphs in quasipolynomial time

Peter Gartland, Daniel Lokshtanov+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、C>t-free 図形—t 個以上の頂点をもつ誘導巡回路を含まない図形—において、最大重みをもつ誘導部分グラフを、d-非稠密で与えられた CMSO2 性質を満たすものとして求める、準多項式時間のアルゴリズムを提示する。この手法は構造的分離子と、有界サイズの部分グラフ上で動作する新規の動的計画法フレームワークを活用し、C>t-free 図形では n^O(log³n) 時間、Pt-free 図形では n^O(log²n) 時間を達成する。これは、最大重み独立集合や誘導森といった問題の先行研究を顕著に一般化するものである。

ABSTRACT

For an integer $t$, a graph $G$ is called {\em{$C_{>t}$-free}} if $G$ does not contain any induced cycle on more than~$t$ vertices. We prove the following statement: for every pair of integers $d$ and $t$ and a CMSO$_2$ statement~$\phi$, there exists an algorithm that, given an $n$-vertex $C_{>t}$-free graph $G$ with weights on vertices, finds in time $n^{O(\log^4 n)}$ a maximum-weight vertex subset $S$ such that $G[S]$ has degeneracy at most $d$ and satisfies $\phi$. The running time can be improved to $n^{O(\log^2 n)}$ assuming $G$ is $P_t$-free, that is, $G$ does not contain an induced path on $t$ vertices. This expands the recent results of the authors [to appear at FOCS 2020 and SOSA 2021] on the {\sc{Maximum Weight Independent Set}} problem on $P_t$-free graphs in two directions: by encompassing the more general setting of $C_{>t}$-free graphs, and by being applicable to a much wider variety of problems, such as {\sc{Maximum Weight Induced Forest}} or {\sc{Maximum Weight Induced Planar Graph}}.

研究の動機と目的

• 独立集合を超えるスパース図形クラスにおける誘導部分グラフ問題のための tractable アルゴリズムのギャップを埋める。
• Pt-free 図形における準多項式時間アルゴリズムを、弦的図形やその他のスパース図形族を含むより広い C>t-free 図形クラスへ拡張する。
• 最大重み誘導森や誘導平面グラフといった広範な問題を、一つのアルゴリズム的フレームワークで統一する。
• スパース図形クラスにおいて、非稠密性と論理的制約を満たす最大重み誘導部分グラフ問題を解く一般化された手法を提供する。
• hereditary 図形クラスに sublinear 分離子をもつ場合の準多項式時間近似スキーム（QPTAS）の基礎を確立する。

提案手法

• C>t-free 図形に適したバランスの取れた分離定理を用い、元の図形のサイズの半分以下の成分を残すように、高々 t 個の頂点からなる小さな連結集合 X を保証する。
• 分離子に基づく再帰的分解戦略を適用し、C>t-free 図形が sublinear 分離子をもつという事実を活用して問題サイズを縮小する。
• 最大誘導パッキング問題を定義・解き、与えられた家族 F から頂点を互いに共有しない連結部分グラフを選んで合計重みを最大化することを目的とする。
• 与えられた CMSO2 性質 ϕ を満たす、サイズが最大 dt 以下のすべての連結誘導部分グラフからなる家族 F を構築し、頂点数または合計重みに基づいて重みを割り当てる。
• F に属する部分グラフ上で動的計画法を適用し、スパース図形クラスではこのような部分グラフの数が n^O(1) に有界であるという事実を活用する。
• 分離子の近傍を削除した成分に対して再帰的にアルゴリズムを適用し、再帰の深さが対数的であるため、準多項式実行時間を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pt-free 図形における最大重み独立集合のための準多項式時間アルゴリズムを、C>t-free 図形へ一般化する方法は何か？
• RQ2 C>t-free 図形において、d-非稠密で与えられた論理的性質 ϕ を満たす大きな誘導部分グラフを求める問題の計算量的複雑性は何か？
• RQ3 MWIS を解くフレームワークを、スパース図形クラスにおける最大重み誘導森や誘導平面グラフといった他の問題へ拡張可能か？
• RQ4 sublinear 分離子や弱ハイパーファイニット性といった構造的性質は、誘導部分グラフ問題における QPTAS の存在とどのように関係するか？
• RQ5 CMSO2 論理は、スパース図形クラスにおける広範な誘導部分グラフ問題を表現・解くために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、C>t-free 図形において CMSO2 文句 ϕ を満たす最大重みの誘導 d-非稠密部分グラフを求める問題を n^O(log³n) 時間で解くアルゴリズムを提示する。
• Pt-free 図形では実行時間が n^O(log²n) に改善され、最大重み独立集合の既知の最良境界と一致する。
• CMSO2 論理を用いて表現することで、最大重み誘導森や最大重み誘導平面グラフといった広範な問題にこのフレームワークを適用可能である。
• C が頂点削除および素な和集合について閉じた弱ハイパーファイニットクラスである場合、C>t-free 図形における最大誘導 C-グラフ問題に対して QPTAS が確立される。
• P6-free 図形および C>4-free 図形において、同じ問題に対して多項式時間アルゴリズムが得られ、フレームワークが図形クラスに応じて準多項式時間および多項式時間の可解性を捉えていることを示している。