[論文レビュー] Finding the maximum eigenvalue of a class of tensors with applications in copositivity test and hypergraphs

Haibin Chen, Yannan Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2015

Tensor decomposition and applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非負および本質的に非負なテンソルを一般化する偶数次対称Wテンソルの最大H固有値を計算するための半定値計画法アルゴリズムを提案する。この手法は、構造的ソル・オブ・スクェアーズ（SOS）分解を活用することで、多項式時間での計算を可能にする。本手法は、対称拡張Zテンソルの正定性（copositivity）のテストや、ハイパーグラフにおけるラプラシアンテンソル固有値の計算に対しても効率的に適用可能であり、次元10,000にまで達する数値的結果が得られた。

ABSTRACT

Finding the maximum eigenvalue of a symmetric tensor is an important topic in tensor computation and numerical multilinear algebra. This paper is devoted to a semi-definite program algorithm for computing the maximum $H$-eigenvalue of a class of tensors with sign structure called $W$-tensors. The class of $W$-tensors extends the well-studied nonnegative tensors and essentially nonnegative tensors, and covers some important tensors arising naturally from spectral hypergraph theory. Our algorithm is based on a new structured sums-of-squares (SOS) decomposition result for a nonnegative homogeneous polynomial induced by a $W$-tensor. This SOS decomposition enables us to show that computing the maximum $H$-eigenvalue of an even order symmetric $W$-tensor is equivalent to solving a semi-definite program, and hence can be accomplished in polynomial time. Numerical examples are given to illustrate that the proposed algorithm can be used to find maximum $H$-eigenvalue of an even order symmetric $W$-tensor with dimension up to $10,000$. We present two applications for our proposed algorithm: we first provide a polynomial time algorithm for computing the maximum $H$-eigenvalues of large size Laplacian tensors of hyper-stars and hyper-trees; second, we show that the proposed SOS algorithm can be used to test the copositivity of a multivariate form associated with symmetric extended $Z$-tensors, whose order may be even or odd. Numerical experiments illustrate that our structured semi-definite program algorithm is effective and promising.

研究の動機と目的

• 偶数次対称Wテンソルの最大H固有値を計算する多項式時間アルゴリズムを開発すること。Wテンソルは非負および本質的に非負なテンソルを一般化するクラスである。
• Wテンソルによって誘導される同次多項式に対して、構造的ソル・オブ・スクェアーズ（SOS）分解を確立し、半定値計画法への再定式化を可能にする。
• 提案されたアルゴリズムを、任意の偶数次または奇数次の対称拡張Zテンソルの正定性（copositivity）をテストするのにも適用すること。
• スパルスなハイパースターおよびハイパートリーにおけるラプラシアンテンソルの最大H固有値を計算すること。これはスペクトルハイパーグラフ理論において重要な対象である。
• 次元10,000に達する高次元テンソルにおいて、アルゴリズムのスケーラビリティと有効性を実証すること。

提案手法

• Wテンソルに関連する同次多項式に対して、新たな構造的ソル・オブ・スクェアーズ（SOS）分解を用いることで、非負性を保証し、半定値計画法への再定式化を可能にする。
• 偶数次対称Wテンソルの最大H固有値を計算する問題を、多項式時間で解ける半定値計画問題（SDP）に再定式化する。
• SOS分解を用いて、最大H固有値が正定値行列の凸最適化問題の最適値に一致することを示す。
• パラメータ化されたSOS計画問題の最小値の符号を分析することで、対称拡張Zテンソルの正定性（copositivity）をテストする。
• YALMIPおよびSeDuMiのMATLABソルバを用いて、さまざまな次数と次元のランダムに生成されたテンソルに対して、半定値計画問題を実装・テストする。
• パラメータMを用いて対角優位性を制御する拡張Zテンソルを構築し、テストインスタンスを生成し、異なるテンソルサイズと次数における正定性率を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次対称Wテンソルの最大H固有値は、効率的に計算可能であり、多項式時間で解けるか？
• RQ2 Wテンソルに関連する同次多項式に対して、構造的ソル・オブ・スクェアーズ（SOS）分解が存在するか？ その存在により、半定値計画法への再定式化が可能か？
• RQ3 提案されたアルゴリズムを用いて、偶数次または奇数次の対称拡張Zテンソルの正定性（copositivity）をテストできるか？
• RQ4 ハイパースターおよびハイパートリーのラプラシアンテンソルの最大H固有値を計算するにあたり、アルゴリズムのスケーラビリティはどの程度か？
• RQ5 拡張Zテンソルの構築におけるパラメータMは、数値実験における観察された正定性率にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 構造的SOS分解のおかげで、偶数次対称Wテンソルの最大H固有値は、半定値計画法により多項式時間で計算可能である。
• アルゴリズムは次元10,000に達するテンソルに対しても最大H固有値を効率的に計算でき、高いスケーラビリティを示した。
• 対称拡張Zテンソルに対しては、SOSに基づくSDPによる正定性テストは、対角優位性パラメータMが十分に大きい場合に99％の成功率を達成した。
• 正定性インスタンスの割合はMの増加に伴い上昇する：m=3, n=2500の場合、M=11では12％からM=16では99％に上昇する。同様の傾向は、すべてのテストされた次数と次元で確認された。
• 本手法により、組合せ的構造のおかげで通常は計算が困難なハイパースターおよびハイパートリーのラプラシアンテンソルの最大H固有値を効率的に計算可能となった。
• 数値実験により、アルゴリズムの有効性と実用的ポentialが確認された。大規模インスタンスにおいて一貫した収束性と高い正確性を示した。