[論文レビュー] Fine-grained analysis and improved robustness of quantum supremacy for random circuit sampling

Yasuhiro Kondo, Ryuhei Mori+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2021

Machine Learning and Algorithms被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、多項式階層が崩壊しないという仮定の下で、ランダムな量子回路の出力確率を指数的に小さい加法的誤差内で推定することは、古典的コンピュータにとって難しいことを確立している。この問題がBPP^NP還元の下で#P困難であることを証明し、定数深さおよび√n深さの回路に対しては、より鋭い境界を得ている。標準的手法（例：Berlekamp–Welch や Paturi の補題）を超えた、新しい技術を用いている。

ABSTRACT

We prove under the complexity theoretical assumption of the non-collapse of the polynomial hierarchy that estimating the output probabilities of random quantum circuits to within $\exp(-\Omega(m\log m))$ additive error is hard for any classical computer, where $m$ is the number of gates in the quantum computation. More precisely, we show that the above problem is $\#\mathsf{P}$-hard under $\mathsf{BPP}^{\mathsf{NP}}$ reduction. In the recent experiments, the quantum circuit has $n-$qubits and the architecture is a two-dimensional grid of size $\sqrt{n} imes\sqrt{n}$. Indeed for constant depth circuits estimating the output probabilities to within $2^{-\Omega(n\log{n})}$ is hard, and for circuits of depth $\sqrt{n}$, for which the anti-concentration property holds, estimating the output probabilities to within $2^{-\Omega(n^{3/2}\log n)}$ is hard. We prove these results from first principles and do not use the standard techniques such as the Berlekamp--Welch algorithm, the usual Paturi's lemma, and Rakhmanov's result.

研究の動機と目的

• ランダム回路サンプリングにおける量子優位性の、より強い複雑性理論的基盤を確立すること。
• ランダム量子回路の出力確率を小さな加法的誤差内で推定することは、古典的コンピュータにとって難しいことを証明すること。
• 定数深さや√n深さの回路といった特定の回路アーキテクチャに対して、推定の難易度に関するより鋭い境界を導出すること。
• Berlekamp–Welch や Paturi の補題といった標準的ツールに依存せず、第一原理から新しい解析的手法を開発すること。

提案手法

• 著者たちは、特にBPP^NP還元を用いて、加法的誤差がexp(−Ω(m log m))以内の範囲で出力確率を推定することは#P困難であることを示した。
• 2次元の√n × √n グリッドアーキテクチャに従うnキュービットのランダム量子回路を分析した。
• 定数深さ回路の場合、誤差が2^−Ω(n log n)以内の範囲で確率を推定することは難しいことを証明した。
• 抗濃度性が成り立つ√n深さの回路では、誤差が2^−Ω(n^{3/2} log n} 以内の範囲で推定することは難しいことを示した。
• 証明は、Berlekamp–Welchアルゴリズム や Rakhmanov の結果といった標準的ツールを避けて、第一原理から構築された。
• 分析は、ランダム量子回路の構造的性質と、複雑性理論的仮定の下での出力分布に依存している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム量子回路の出力確率を指数的に小さい加法的誤差内で推定することは、古典的コンピュータにとって難しいか？
• RQ2 定数深さや√n深さといった特定の回路アーキテクチャに対して、推定の難易度に関するより鋭い境界を導出できるか？
• RQ3 Berlekamp–Welch や Paturi の補題といった標準的技術に依存せずに、このような難易度結果を確立できるか？
• RQ4 回路の深さ、抗濃度性、および古典的シミュレーションの複雑さとの正確な関係は何か？

主な発見

• 多項式階層が崩壊しないという仮定の下で、加法的誤差がexp(−Ω(m log m))以内の範囲で出力確率を推定することは、BPP^NP還元の下で#P困難である。
• 定数深さの量子回路では、誤差が2^−Ω(n log n} 以内の範囲で確率を推定することは難しい（nはキュービット数）。
• 抗濃度性が成り立つ√n深さの回路では、誤差が2^−Ω(n^{3/2} log n} 以内の範囲で確率を推定することは難しい。
• 結果は、Berlekamp–Welchアルゴリズム や Paturi の補題といった標準的ツールを一切使用せずに、第一原理から導出された。
• 分析により、ランダム回路サンプリングにおける量子優位性の強固さが、より強い複雑性理論的仮定のもとで裏付けられた。