[論文レビュー] Finite and Infinite W Algebras and their Applications

T. Tjin|ArXiv.org|Aug 30, 1993

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、任意の $sl_2$ 埋め込みにおける一般化されたドリンフェルト＝ソコロフ還元を用いた、有限および無限の W 代数の体系的ハミルトニアン還元フレームワークを提示する。すべての W 代数がアフィンリーヒューブルの還元として生じることを示している。この還元に対して量子化手順を確立し、自由場実現を提供するとともに、有限 W 代数、そのシンプレクティック葉、およびオシレーター実現を完全に特徴づけ、可積分系および量子場理論への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper we present a systematic study of $W$ algebras from the Hamiltonian reduction point of view. The Drinfeld-Sokolov (DS) reduction scheme is generalized to arbitrary $sl_2$ embeddings thus showing that a large class of W algebras can be viewed as reductions of affine Lie algebras. The hierarchies of integrable evolution equations associated to these classical W algebras are constructed as well as the generalized Toda field theories which have them as Noether symmetry algebras. The problem of quantising the DS reductions is solved for arbitrary $sl_2$ embeddings and it is shown that any W algebra can be embedded into an affine Lie algebra. This also provides us with an algorithmic method to write down free field realizations for arbitrary W algebras. Just like affine Lie algebras W algebras have finite underlying structures called `finite W algebras'. We study the classical and quantum theory of these algebras, which play an important role in the theory of ordinary W algebras, in detail as well as some aspects of their representation theory. The symplectic leaves (or W-coadjoint orbits) associated to arbitrary finite W algebras are determined as well as their realization in terms of bosoic oscillators. Apart from these technical aspects we also review the potential applications of W symmetry to string theory, 2-dimensional critical phenomena, the quantum Hall effect and solitary wave phenomena. This work is based on the Ph.D. thesis of the author.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン還元を用いて有限および無限の W 代数を統一的な枠組みで開発すること。
• ドリンフェルト＝ソコロフ還元を任意の $sl_2$ 埋め込みに一般化し、広範なクラスの W 代数の構成を可能にすること。
• すべての $sl_2$ 埋め込みにおいて DS 還元の量子化問題を解決すること。
• アフィンリーヒューブルへの埋め込みを通じて、任意の W 代数に対する自由場実現を確立すること。
• 有限 W 代数を詳細に研究し、そのシンプレクティック葉およびオシレーター実現を明らかにするとともに、無限 W 代数の構造における役割を探索すること。

提案手法

• アフィンリーヒューブルにおける任意の $sl_2$ 埋め込みへのドリンフェルト＝ソコロフ還元スキームの一般化。
• 双対軌道上のシンプレクティック還元を通じて、古典的 W 代数を還元されたポisson代数として構成。
• 任意の $sl_2$ 埋め込みにおける DS 還元手順の量子化を行い、量子 W 代数の整合性と閉包性を証明。
• 任意の W 代数がアフィンリーヒューブルに埋め込めることが示され、アルゴリズム的自由場実現が可能になる。
• 有限 W 代数を無限 W 代数の基礎的構造として特徴づけ、その古典的および量子理論を分析。
• 有限 W 代数のシンプレクティック葉を双対軌道として実現し、それらのオシレーター表現を構成。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $sl_2$ 埋め込みへのドリンフェルト＝ソコロフ還元をどのように一般化すれば、W 代数を構成できるか？
• RQ2 任意の $sl_2$ 埋め込みにおける DS 還元の量子化手順は何か？そして、整合的な量子 W 代数が得られるか？
• RQ3 すべての W 代数がアフィンリーヒューブルへの埋め込みを通じて自由場として実現可能か？
• RQ4 有限 W 代数のシンプレクティック葉は何か？また、ボソン的オシレーターの観点からどのように実現できるか？
• RQ5 有限 W 代数は、無限 W 代数の構造および表現論においてどのように関係しているか？

主な発見

• 任意の $sl_2$ 埋め込みにおける一般化されたドリンフェルト＝ソコロフ還元により、還元されたポisson代数として広範なクラスの古典的 W 代数が得られる。
• すべての $sl_2$ 埋め込みにおいて DS 還元の量子化が整合的に解決され、任意の W 代数がアフィンリーヒューブルの量子還元として生じることを証明した。
• すべての W 代数は、アフィンリーヒューブルへの埋め込みを通じて自由場実現が可能であり、アルゴリズム的構成法を提供する。
• 有限 W 代数が無限 W 代数の基礎的構造であることが示され、そのシンプレクティック葉が双対軌道として完全に分類された。
• 有限 W 代数のシンプレクティック葉はボソン的オシレーター代数を介して実現され、それらの位相空間構造の明確な実現が確立された。
• 本稿では、W 代数が一般化されたトーダ場理論のノネルト対称性代数として機能することを確立し、ハミルトニアン還元を通じて可積分階層と関連づけた。