[論文レビュー] Finite Block Length Analysis on Quantum Coherence Distillation and Incoherent Randomness Extraction

Masahito Hayashi, Kun Fang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2020

Quantum Information and Cryptography参考文献 88被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、さまざまな自由操作クラスにおける量子コherence抽出および非コherentランダムネス抽出の、初めての体系的2次漸近解析を提供する。可達可能コヒーレンスと抽出可能ランダムネスの間で正確な1対1対応を確立し、非コヒーレント操作の下で両者の2次展開が同一であることを示し、仮説検定相対エントロピーを用いたタイトな特徴付けを含む支援付き設定へと拡張する。

ABSTRACT

We give the first systematic study on the second order asymptotics of the operational task of coherence distillation with and without assistance. In the unassisted setting, we introduce a variant of randomness extraction framework where free incoherent operations are allowed before the incoherent measurement and the randomness extractors. We then show that the maximum number of random bits extractable from a given quantum state is precisely equal to the maximum number of coherent bits that can be distilled from the same state. This relation enables us to derive tight second order expansions of both tasks in the independent and identically distributed setting. Remarkably, the incoherent operation classes that can empower coherence distillation for generic states all admit the same second order expansions, indicating their operational equivalence for coherence distillation in both asymptotic and large block length regime. We then generalize the above line of research to the assisted setting, arising naturally in bipartite quantum systems where Bob distills coherence from the state at hand, aided by the benevolent Alice possessing the other system. More precisely, we introduce a new assisted incoherent randomness extraction task and establish an exact relation between this task and the assisted coherence distillation. This strengthens the one-shot relation in the unassisted setting and confirms that this cryptographic framework indeed offers a new perspective to the study of quantum coherence distillation. Likewise, this relation yields second order characterizations to the assisted tasks. As by-products, we show the strong converse property of the aforementioned tasks from their second order expansions.

研究の動機と目的

• 有限ブロック長におけるコヒーレンス抽出および非コヒーレントランダムネス抽出の、厳密な2次漸近的フレームワークを確立すること。
• 異なる非コヒーレント操作クラスがコヒーレンス抽出およびランダムネス抽出において、操作的に同等であるかを調査すること。
• 2部量子系における支援付き設定に、コヒーレンス抽出とランダムネス抽出の双対性を一般化すること。
• 2次展開を用いて、両タスクの強力な逆定理を導出すること。
• ε²誤差依存性を有する仮説検定相対エントロピーを用いて、タイトな有限ブロック長特徴付けを提供すること。

提案手法

• 自由な非コヒーレント操作を測定および抽出器の前に行う、ランダムネス抽出の変種を導入する。
• Nussbaum-Szkołå分布を用いて、コヒーレンス抽出と非コヒーレントランダムネス抽出の間で正確な1ショット双対性を確立する。
• 仮説検定相対エントロピーを用いて、ε²誤差依存性を持つ1ショット境界を導出し、2次展開を可能にする。
• 双対性を用いて、非支援設定の結果を支援設定へと拡張し、アリスがボブを支援する局所操作および古典的通信を用いる。
• 中心極限定理型近似を用いて、i.i.d.設定における両者のコヒーレンス抽出可能量およびランダムネス抽出可能量の2次展開を導出する。
• 2次項の収束速度を分析することで強力な逆定理を証明し、極限においてレートと誤差の間のトレードオフが存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる非コヒーレント操作クラスにおけるコヒーレンス抽出の2次漸近展開は何か？
• RQ2 有限ブロック長領域において、測定前の非コヒーレント操作の導入が抽出可能ランダムネスに与える影響は何か？
• RQ3 非支援および支援設定の両方において、コヒーレンス抽出と非コヒーレントランダムネス抽出の間には正確な操作的双対性があるか？
• RQ4 支援付きコヒーレンス抽出およびランダムネス抽出の2次展開は、仮説検定相対エントロピーを用いて特徴付けられるか？
• RQ5 コヒーレンス抽出およびランダムネス抽出タスクの強力な逆性行動は何か？ そして、2次分析によってどのように明らかになるか？

主な発見

• 非コヒーレント操作を用いて量子状態から抽出可能なランダムビットの最大数は、同一状態から抽出可能なコヒーレンスビット数に正確に等しい。
• 一般状態からのコヒーレンス抽出が可能なすべての非コヒーレント操作クラスは、同一の2次展開を示し、漸近的および有限ブロック長領域の両方で操作的同等性を示している。
• 非支援設定におけるコヒーレンス抽出および非コヒーレントランダムネス抽出の2次展開は、$ nC + \sqrt{n} \cdot \sqrt{V} \cdot z_{\varepsilon} + o(\sqrt{n}) $ で与えられ、ここで $ C $ は1次レート、$ V $ は分散項である。
• 支援設定において、コヒーレンス抽出可能量およびランダムネス抽出可能量の2次展開は同一であり、仮説検定相対エントロピーへの同じ依存性を示す。
• 両タスクに対して強力な逆定理が成り立ち、2次展開を用いて証明され、極限においてレートと誤差の間のトレードオフが存在しないことが示された。
• 解析により、測定前の非コヒーレント操作の最適化が、抽出可能ランダムネスを高められる上限が $ O(\log n) $ であることが判明し、非支援設定では高次項に利点がないことが示唆された。