[論文レビュー] Finite Conformal Quantum Gravity and Nonsingular Spacetimes

Leonardo Modesto, Lesław Rachwał|arXiv (Cornell University)|May 13, 2016

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、弱い非局所性とWeyl対称性の自発的破れを活用することで、時空特異点を解消する有限でユニタリかつ共形不変な量子重力理論のクラスを提案する。古典的解—シュバルツシルトブラックホール、FRW宇宙論、BKL時空—が特異でない、測地的に完全な計量と共形同値であることを証明し、特異点がゲージ選択の結果であるにすぎず、物理的破綻ではないことを示している。

ABSTRACT

We explicitly prove that a class of finite quantum gravitational theories (in odd as well as in even dimension) is actually a range of anomaly-free conformally invariant theories in the spontaneously broken phase of the conformal Weyl symmetry. At classical level we show how the Weyl conformal invariance is likely able to tame the spacetime singularities that plague not only Einstein gravity, but also local and weakly non-local higher derivative theories. This latter statement is rigorously proved by a singularity theorem that applies to a large class of weakly non-local theories. Following the seminal paper by Narlikar and Kembhavi, we provide an explicit construction of singularity-free black hole exact solutions conformally equivalent to the Schwarzschild metric. Furthermore, we show that the FRW cosmological solutions and the Belinski, Khalatnikov, Lifshitz (BKL) spacetimes, which exactly solve the classical equations of motion, are conformally equivalent to regular spacetimes. Finally, we prove that the Oppenheimer-Volkov gravitational collapse is a an exact (singularity-free) solution of the non-local conformally invariant theory compatible with the bounce paradigm.

研究の動機と目的

• 量子発散を回避する有限でユニタリかつ共形不変な量子重力理論のクラスを確立すること。
• 一般相対性理論および高階微分理論における古典的時空特異点を、共形不変性と弱い非局所性を用いて解消すること。
• シュバルツシルト、FRW、BKL時空などの解における特異点が、正則な計量と共形同値であることを示すことにより、ゲージ選択の結果であることを証明すること。
• この枠組みにおける重力的収縮および宇宙論的モデルが特異点なしで測地的に完全であることを証明すること。
• 曲率不変量と非局所観測量が時空特異点を診断する役割を果たす意義を明確にし、非局所的共形不変量よりも局所的Diff不変不変量を優先すること。

提案手法

• すべてのループ次数で有限で、ユニタリかつ明示的な共形不変性を持つ弱い非局所重力理論のクラスを構築すること。
• Weylスケーリング $ g_{\mu\nu} \to \Omega^2(x)g_{\mu\nu} $ を用いて、アインシュタイン枠組みにおける特異解を、共形同値な枠組みにおける正則解に結びつけること。
• 弱い非局所重力に対して特異点定理を証明し、場の運動方程式を満たす解において曲率特異点が排除されることを示すこと。
• シュバルツシルトブラックホールに対して、明示的に共形同値な正則計量を構成し、すべての局所的曲率不変量（例：$ \hat{R}, \hat{R}^{2} $）が有限であることを示すこと。
• FRWおよびBKL時空を非局所共形理論における解として分析し、測地的完全性および曲率特異点の不在を示すこと。
• 非局所不変量（例：$ X = \Delta t \int \sqrt{|g|} \mathbf{C}^2 $）を評価し、時空が測地的に完全であっても発散する可能性があることを示し、物理的特異点の検出には信頼できないことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限でユニタリかつ共形不変な量子重力理論は、古典的時空特異点を解消できるか？
• RQ2 一般相対性理論における特異解（例：シュバルツシルト、FRW、BKL）は物理的特異点であるのか、それともゲージ選択の結果であるのか？
• RQ3 非局所的共形重力理論は、重力的収縮および宇宙論的進化に対して正確に特異点のない解を提供できるか？
• RQ4 非局所的共形不変量は時空特異点を信頼性高く検出できるのか、それとも非局所性のため誤解を招くのか？
• RQ5 共形重力理論において、時空の正則性を診断するのに最も適した曲率不変量は何か—局所的Diff不変不変量か、非局所的共形不変量か？

主な発見

• 弱い非局所性と共形不変性のおかげで、理論はすべてのループ次数で有限であり、量子発散が排除される。
• シュバルツシルトブラックホール解は、すべての局所的曲率不変量（例：$ \hat{R}, \hat{R}^{2} $）が有限で、測地的に完全な正則時空と共形同値である。
• 古典的に特異点を示すFRWおよびBKL時空は、非局所理論の共形枠組みにおいて測地的に完全で正則であることが示された。
• オッペンハイマー＝ヴォルコフの重力的収縮は、非局所共形理論において正確に特異点のない解であり、バウンス仮説を支持する。
• 非局所不変量 $ X = \Delta t \int \sqrt{|g|} \mathbf{C}^2 $ は、時空が測地的に完全であっても発散する可能性があり、物理的特異点の検出には信頼できないことが証明された。
• 物理的計量 $ \hat{g}_{\mu\nu} $ から構成される局所的Diff不変曲率不変量（例：$ \mathbf{\hat{R}}(\hat{g}) $, $ \mathbf{\hat{R}^{2}}(\hat{g}) $）のみが、時空の正則性を正しく示しており、測地的完全性が確認された。