[論文レビュー] Finite difference/spectral approximations for the two-dimensional time Caputo-Fabrizio fractional diffusion equation

Yu Fan, Minghua Chen|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2次元時間 Caputo-Fabrizio 係数微分方程式に対する3次精度で、無条件安定な有限差分/スペクトルスキームを提示する。時間方向に3次精度の有限差分法を、空間方向にスペクトル離散化を組み合わせることで、グローバルな切り捨て誤差が $\mathcal{O}(τ^3 + N^{-m})$ となることが達成され、この文脈における3次スキームの安定性の証明は初めてである。

ABSTRACT

The main contribution of this work is to construct and analyze stable and high order schemes to efficiently solve the two-dimensional time Caputo-Fabrizio fractional diffusion equation. Based on a third-order finite difference method in time and spectral methods in space, the proposed scheme is unconditionally stable and has the global truncation error $\mathcal{O}(τ^3+N^{-m})$, where $τ$, $N$ and $m$ are the time step size, polynomial degree and regularity in the space variable of the exact solution, respectively. It should be noted that the global truncation error $\mathcal{O}(τ^2+N^{-m})$ is well established in [ Li, Lv and Xu, {\em Numer. Methods Partial Differ. Equ}. (2019)]. Finally, some numerical experiments are carried out to verify the theoretical analysis. To the best of our knowledge, this is the first proof for the stability of the third-order scheme for the Caputo-Fabrizio fractional operator.

研究の動機と目的

• 2次元時間 Caputo-Fabrizio 係数微分方程式に対する高次精度で、無条件安定な数値スキームの開発。
• 既存の2次スキームを時間方向で3次精度に拡張しつつ、安定性を維持すること。
• Caputo-Fabrizio 係数微分作用素の時間方向3次離散化に対する、最初の厳密な安定性の証明を提供すること。
• 数値実験を通じて理論的収束率の検証。

提案手法

• 時間方向に3次精度の有限差分法を適用し、時間方向の高次精度を達成する。
• 空間方向にスペクトル法を用い、滑らかな解に対して高い精度を発揮させ、収束率は解の正則性に依存する。
• 空間離散化には、通常、ルジャンドル多項式またはチェビシェフ多項式に基づくスペクトルコロケーション法を採用する。
• 得られる完全離散スキームは、エネルギー法または行列解析を用いて、無条件安定であることが証明される。
• グローバルな切り捨て誤差は理論的に $\mathcal{O}(τ^3 + N^{-m})$ と導出され、ここで $τ$ は時間ステップ、$N$ は多項式の次数、$m$ は解の正則性を表す。
• この方法は実装され、数値実験を通じて理論的収束次数が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元 Caputo-Fabrizio 係数微分方程式に対して、3次時間離散化が構築可能であり、かつ安定であることが証明できるか？
• RQ2 このような高次スキームのグローバル収束率は、時間および空間両方向でどの程度か？
• RQ3 スペクトル的空間離散化は、全体の精度および安定性にどのように影響するか？
• RQ4 提案されたスキームは、時間ステップサイズや多項式次数を変化させても安定性を保つのか？
• RQ5 ベンチマーク問題を通じて、理論的誤差境界が数値的に検証可能か？

主な発見

• 提案されたスキームは、グローバルな切り捨て誤差が $\mathcal{O}(τ^3 + N^{-m})$ であることを示し、時間方向に3次精度、空間方向にスペクトル精度を達成している。
• スキームは無条件安定であることが証明されており、これまでは2次スキームに限られていた先行研究に対して顕著な進歩である。
• Caputo-Fabrizio 係数微分作用素の時間方向3次離散化に対する、最初の厳密な安定性証明が確立された。
• 数値実験により、時間および空間変数における理論的収束率が確認された。
• さまざまなパrameter設定においても安定性を維持しながら、低次のスキームよりも優れた精度を示した。
• 時間方向に高次有限差分法と空間方向にスペクトル法を組み合わせる手法が、係数微分拡散問題に対して有効であることが検証された。