[論文レビュー] Finite dimensional representations of symplectic reflection algebras associated to wreath products II

Silvia Montarani|ArXiv.org|Jan 11, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$S_N \ltimes \Gamma^N$ の形をしたワルプロダクトに関するシンプレクティック反射代数の有限次元非可約表現を構成する。誘導表現をパラボリック部分代数から作り、トレース条件を解析することで、パrameter空間 $C(\mathcal{S})$ のcodimension $r$ の線形部分空間に沿って、このような表現が一意に変形可能であることを証明する。これは、ランク1代数 $H_{1,c}(\Gamma)$ の $r$ 通りの非同型非可約モジュールに対応する。

ABSTRACT

This note extends some results of a previous paper (math.RT/0403250) about finite dimensional representations of the wreath product symplectic reflection algebra H(k,c,N,G) of rank N attached to a finite subgroup G of SL(2,C) (here k is a number and c a class function on the set of nontrivial elements of G). Specifically, let N'=(N_1,...,N_r) be a partition of N. Consider W=W_1\otimes >...\otimes W_r an irreducible representation of S_N'=S_{N_1} imes ... imes S_{N_r}\subset S_N s.t. W_i has rectangular Young diagram for any i and let {Y_i}, i=1,...,r be a collection of irreducible non isomorphic representation of the rank 1 algebra B=H(c_0,1,G) s.t. Ext^1_B(Y_i, Y_j)=0 for any i eq j. Consider the module M'=W\otimes Y, where Y=Y_1^{N_1}\otimes ...\otimes Y_r^{N_r}, over the subalgebra S_N'#B^N \subset S_N#B^N= H(0,c_0,N,G) and form the induced module M over H(0,c_0,N,G). We show that M can be uniquely deformed along a linear subspace of codimension r in the space of the parameters (k,c) passing through c_0. This result implies the main result of math.RT/0403250 as a particular case, the case of the trivial partition N'=(N).

研究の動機と目的

• ワルプロダクト $S_N \ltimes \Gamma^N$ に関連するシンプレクティック反射代数の有限次元表現に関する先行研究を拡張すること。
• パラボリック部分代数からの誘導表現が一意に変形可能となるパrameter空間 $C(\mathcal{S})$ を特定すること。
• ランク1の構成ブロック $H_{1,c}(\Gamma)$ からの非可約表現 $H_{1,k,c}(\mathbf{\Gamma}_N)$ がどのようにして引き上げられるかの条件を確立すること。
• このような変形が存在する正確な線形部分空間を、ホモロジー的およびトレースに基づく技法を用いて特定すること。

提案手法

• 誘導モジュール $M = \mathrm{Ind}_{S_{\vec{N}} \sharp B^{\otimes N}}^{S_N \sharp B^{\otimes N}} (W \otimes Y)$ を構成する。ここで $W$ は $S_{\vec{N}}$ の非可約表現、$Y = \bigotimes_{i=1}^r Y_i^{\otimes N_i}$ はランク1代数 $B = H_{1,c}(\Gamma)$ の表現である。
• モジュール $M$ を同型成分に分解し、$H_{1,k,c}(\mathbf{\Gamma}_N)$ の定義関係から導かれる作用素のトレースを計算する。
• 関係式 $[x_1, y_1] = 1 + \frac{k}{2} \sum_{j \neq 1} \sum_{\gamma \in \Gamma} s_{1j} \gamma_1 \gamma_j^{-1} + \sum_{\gamma \in \Gamma \setminus \{1\}} c_\gamma \gamma_1$ にトレース条件を適用し、パrameterに線形制約を導出する。
• キャラクター理論とヤング図の内容を用いて $\mathrm{Tr}_{W_1}(s_{1j})$ および $\mathrm{Tr}_{Y_1^{\otimes N_1}}(s_{1j} \gamma_1 \gamma_j^{-1})$ を計算し、明示的なトレース公式を得る。
• パrameter $k$ と $c_\gamma$ に対して $r$ 個の独立した線形方程式の系を導出し、それぞれがハイパーサーフェス $\mathcal{H}_{Y_i, m_i, l_i}$ に対応する。変形空間はこれらのハイパーサーフェスの交わりの形式的近傍であることを示す。
• 非同型 $B$-モジュールの次元ベクトルが線形独立であるという事実を用いて、$r$ 個の条件が独立していることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パrameter $k$ と $c$ がどのような条件下で、$H_{1,k,c}(\mathbf{\Gamma}_N)$ の誘導表現 $M$ が一意に変形可能となるか。
• RQ2 $W_i$ のヤング図の構造がトレース計算および得られる変形条件にどのように影響するか。
• RQ3 $C(\mathcal{S})$ の中で有限次元非可約表現が存在する部分空間の正確なcodimensionは何か。
• RQ4 Ext-消滅および $Y_i$ の非同型性の条件が、導出された線形制約の独立性をどのように保証するか。
• RQ5 $M$ の変形空間は、各々が異なる非可約 $B$-モジュールに対応する $r$ 個のハイパーサーフェスによって定義される線形部分空間の形式的近傍として記述可能か。

主な発見

• 誘導モジュール $M = \mathrm{Ind}_{S_{\vec{N}} \sharp B^{\otimes N}}^{S_N \sharp B^{\otimes N}} (W \otimes Y)$ は、$C(\mathcal{S})$ のcodimension $r$ の線形部分空間に沿って一意に変形可能である。
• 各 $i = 1, \dots, r$ に対して、変形条件は方程式 $\mathrm{dim}\,Y_i + \frac{k}{2}|\Gamma|(m_i - l_i) + \sum_{\gamma \in \Gamma \setminus \{1\}} c_\gamma \chi_{Y_i}(\gamma) = 0$ で定義されるハイパーサーフェス $\mathcal{H}_{Y_i, m_i, l_i}$ を与える。ここで $m_i$ と $l_i$ は $W_i$ の長方形ヤング図の次元である。
• $r$ 個のハイパーサーフェスは独立であるため、それらの交わりのcodimensionは $r$ であり、変形空間はこの交わりの原点における形式的近傍である。
• パrameter $k$ と $Y_i$ の構造（特にその次元ベクトルとキャラクター）が、変形の存在領域を直接決定する。
• 証明は、$W_i$ における $S_{N_i}$ のキャラクターと、その内容に依存する転置作用素のトレースを用いたトレース計算に依存している。
• 結果として、変形空間が $\bigcap_{i=1}^r \mathcal{H}_{Y_i, m_i, l_i}$ の形式的近傍に同型であり、部分空間 $S$ が $\bigcap_{i=1}^r \mathcal{H}_{Y_i, m_i, l_i} - (0, c_0)$ の形式的近傍であることが確認された。