[論文レビュー] Comparing tamed and compatible symplectic cones and cohomological properties of almost complex manifolds

Tianjun Li, Weiyi Zhang|ArXiv.org|Aug 19, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ほぼ複素構造における$H^{1,1}_J(M)_{\mathbb{R}}$および$H^{(2,0),(0,2)}_J(M)_{\mathbb{R}}$というコhomological不変量を導入し、$J$-tamedおよび$J$-compatibleなシンプレクティックコーンを比較する。$C^\infty$な完全なほぼ複素構造に対しては、tamedコーンがcompatibleコーンに特定のコhomology部分群を加えたものに一致することを証明し、次元4におけるドナルドソンの問いの重要なケースを解決する。

ABSTRACT

We introduce certain homology and cohomology subgroups for any almost complex structure and study their pureness, fullness and duality properties. Motivated by a question of Donaldson, we use these groups to relate J-tamed symplectic cones and J-compatible symplectic cones over a large class of almost complex manifolds, including all Kahler manifolds, almost Kahler 4-manifolds and complex surfaces.

研究の動機と目的

• 4次元多様体上の$J$-tamedなシンプレクティック形式が、同じコhomology類に属する$J$-compatibleな代表元を持つかどうかを検討すること。
• 非可積分的ほぼ複素構造のためのドルベールコhomologyの類似物として、$H^{1,1}_J(M)_{\mathbb{R}}$および$H^{(2,0),(0,2)}_J(M)_{\mathbb{R}}$というコhomological部分群を定義し、それらを研究すること。
• $H^2(M;\mathbb{R})$および$H_2(M;\mathbb{R})$におけるこれらの部分群が直和分解をなす条件を特徴づけ、$C^\infty$純粋かつ完全な構造という概念を導入すること。
• $J$-tamedおよび$J$-compatibleなシンプレクティックコーンの間の構造的関係を、これらのコhomological部分群を用いて確立すること。
• 固定された4次元多様体上におけるすべての複素構造について、可積分なtamedおよびcompatibleなコーン$\mathcal{K}_{\text{Int}}^t(M)$および$\mathcal{K}_{\text{Int}}^c(M)$を調査し、特にケーラーおよび非ケーラー曲面の文脈で検討すること。

提案手法

• ほぼ複素構造$J$に関連する実コhomology部分群$H^{1,1}_J(M)_{\mathbb{R}}$および$H^{(2,0),(0,2)}_J(M)_{\mathbb{R}}$を定義し、ドルベールコhomologyを一般化する。
• $H^2(M;\mathbb{R})$および$H_2(M;\mathbb{R})$がこれらの部分群によって直和分解されるような構造を$C^\infty$純粋かつ完全な構造と定義する。
• [30]および[17]の技法を用いて、$J$が$C^\infty$完全であり、かつ$\mathcal{K}_J^c \neq \emptyset$であるならば、$\mathcal{K}_J^t = \mathcal{K}_J^c + H_J^{(2,0),(0,2)}(M)_{\mathbb{R}}$が成り立つことを証明する。
• ケーラー多様体およびほぼケーラー4次元多様体にこの結果を適用し、可積分な場合に$H_J^{(2,0),(0,2)}(M)_{\mathbb{R}}$が$H_{\bar{\partial}}^{2,0}(M) \oplus H_{\bar{\partial}}^{0,2}(M)$に同型であることを示す。
• 固定された4次元多様体$M$上におけるすべての複素構造について、可積分なtamedおよびcompatibleなコーン$\mathcal{K}_{\text{Int}}^t(M)$および$\mathcal{K}_{\text{Int}}^c(M)$を分析し、特に一般型の曲面を対象とする。
• ホッジ＝リーマンの双一次関係および変形論的議論を用いて、$p_g > 0$かつ$n=2$のとき、ある条件を満たす$\beta$のもとで、真の包含関係$\mathcal{K}_{\text{Int}}^c(M,e) \subsetneq \mathcal{K}_{\text{Int}}^t(M,e)$が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドナルドソンが提起した問い、すなわち4次元多様体上の$J$-tamedなシンプレクティック形式が、同じコhomology類に属する$J$-compatibleな代表元を持つのかどうか。
• RQ2 $J$が非可積分的である場合、$J$-tamedおよび$J$-compatibleなシンプレクティックコーンがコhomological不変量によってどのように関連づけられるか。
• RQ3 どのようなほぼ複素構造$J$に対して、コhomology部分群$H^{1,1}_J(M)_{\mathbb{R}}$および$H^{(2,0),(0,2)}_J(M)_{\mathbb{R}}$が$H^2(M;\mathbb{R})$の直和分解をなすか。
• RQ4 一般型の複素曲面で$p_g \geq 1$である場合、可積分なtamedコーンは可積分なcompatibleコーンよりも真に大きいと予想されるが、その真偽は。
• RQ5 固定された次数2の類$e$に対して、$\mathcal{K}_{\text{Int}}^c(M,e) \subsetneq \mathcal{K}_{\text{Int}}^t(M,e)$が成り立つ条件は何か。

主な発見

• 任意の$C^\infty$完全なほぼ複素構造$J$に対して、$J$-compatibleコーン$\mathcal{K}_J^c$が空でないならば、$J$-tamedコーンは$\mathcal{K}_J^t = \mathcal{K}_J^c + H_J^{(2,0),(0,2)}(M)_{\mathbb{R}}$を満たす。
• ケーラー多様体の場合、$H_J^{(2,0),(0,2)}(M)_{\mathbb{R}}$は$H_{\bar{\partial}}^{2,0}(M) \oplus H_{\bar{\partial}}^{0,2}(M)$に同型であり、古典的ドルベール理論と整合することが確認される。
• $b^+ = 1$である4次元多様体では、群$H_J^{(2,0),(0,2)}(M)_{\mathbb{R}}$は自明であるため、$\mathcal{K}_J^c \neq \emptyset$ならば常に$\mathcal{K}_J^t = \mathcal{K}_J^c$が成り立つ。
• 一般型の複素曲面で$p_g \geq 1$である場合、可積分なtamedコーン$\mathcal{K}_{\text{Int}}^t(M)$は可積分なcompatibleコーン$\mathcal{K}_{\text{Int}}^c(M)$よりも真に大きいことが示され、Conjecture 4.12を支持する。
• $n=2$のとき、$p_g > 0$、$e$が標準類であり、$\beta$が非ゼロの$(2,0)+(0,2)$-形式で、$|t|$が大きいまたは非ゼロの小さい値をとるならば、$\mathcal{K}_{\text{Int}}^c(M,e) \subsetneq \mathcal{K}_{\text{Int}}^t(M,e)$が成り立つ。
• $c_1(E)=0$かつ$c_5(E) = m\lambda$である$\mathbb{P}(E)$上にtamedではあるがcompatibleではないシンプレクティック形式が存在することから、$\mathbb{P}(E)$は非ケーラー的だがtamedなシンプレクティック構造を有することを示し、tamedとcompatibleなコーンの間のギャップを具体例で示している。