[論文レビュー] Finite dual of a cocommutative Hopf algebroid

Laiachi El Kaoutit, José Gómez-Torrecillas|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コcommutative Hopf アルゲブラを commutative Hopf アルゲブラに変換する有限双対関手を導入し、Dedekind 環上の Lie-Rinehart アルゲブラの表現理論とその基底環のスペクトル上のアフィン群ガロアの表現理論の間の同値性を確立する。主な結果は、このような表現がアフィン群ガロアの表現と同値であることを示しており、複素アフィン直線上のベクトル場の推移的 Lie アルゲブラを用いた具体例によって図示される。

ABSTRACT

We construct a contravariant functor (\emph{the finite dual functor}) from the category of co-commutative Hopf algebroids to the category of commutative Hopf algebroids. Using this functor, we then show that the representation theory of a given Lie-Rinehart algebra $(A,L)$ with $A$ is a Dedekind domain, is the 'same' as the representation theory of an affine groupoid over the spectrum of $A$. In particular, this applies to the global sections of any Lie algebroid over an irreducible smooth curve over an algebraically closed field. To illustrate our methods, we give a detailed application to the transitive Lie algebroid of vector fields over the complex affine line $\mathbb{A}^{\scriptscriptstyle{1}}_{\scriptscriptstyle{\mathbb{C}}}$, which involves the theory of differential modules.

研究の動機と目的

• 有限双対構成を用いて、コcommutative から commutative Hopf アルゲブラへの反変関手を確立すること。
• Dedekind 環上での Lie-Rinehart アルゲブラの表現理論とアフィン群ガロアの表現理論を関連させること。
• 代数的閉体上の一意的滑らかな曲線上の Lie アルゲブラの局所的切断に関して、この同値性を示すこと。
• 複素アフィン直線上のベクトル場の推移的 Lie アルゲブラにこの枠組みを適用し、微分モジュール理論を用いること。

提案手法

• コcommutative Hopf アルゲブラから commutative Hopf アルゲブラへの反変写像として有限双対関手を構成する。
• Lie-Rinehart アルゲブラの普遍包あらわし代数に有限双対構成を適用し、$A$ を Dedekind 環とする。
• 有限双対によって誘導される圏の同値性を用いて、Lie-Rinehart アルゲブラの表現と $ olimits\operatorname{Spec}(A)$ 上のアフィン群ガロアの表現を関連付ける。
• 複素アフィン直線 $ olimits\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}$ 上のベクトル場の推移的 Lie アルゲブラを具象例として分析し、その表現を微分モジュールと関連付ける。
• 代数的幾何学およびモジュール論の技法を用いて、アフィン直線の場合の同値性を検証する。
• Hopf アルゲブラの構造および Dedekind 環の性質に依拠して、双対性が成立することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限双対関手はどのようにしてコcommutative Hopf アルゲブラを commutative に写像することができるか？
• RQ2 Lie-Rinehart アルゲブラの表現理論がアフィン群ガロアのそれと一致する条件は何か？
• RQ3 Dedekind 環上の Lie-Rinehart アルゲブラの表現とそのスペクトル上のアフィン群ガロアの表現との間の明確な圏的同値性は何か？
• RQ4 複素アフィン直線上のベクトル場の推移的 Lie アルゲブラの場合、有限双対関手はどのように振る舞うか？
• RQ5 微分モジュールは、複素アフィン直線上の Lie アルゲブラの表現理論をどのように表現するか？

主な発見

• 有限双対関手は、コcommutative Hopf アルゲブラの圏と commutative Hopf アルゲブラの圏との間で反変同値を提供する。
• A が Dedekind 環である Lie-Rinehart アルゲブラ $(A,L)$ に対して、その表現は $ olimits\operatorname{Spec}(A)$ 上のアフィン群ガロアの表現と圏的に同値である。
• この構成は、代数的閉体上の一意的滑らかな曲線上の Lie アルゲブラの局所的切断に対して一般に適用可能である。
• 複素アフィン直線 $ olimits\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}$ の場合、ベクトル場の推移的 Lie アルゲブラの表現理論は、特定のアフィン群ガロアの表現理論と同値である。
• $\mathbb{C}[x]$ 上の微分モジュールの理論は、この同値性をアフィン直線の例で明確に実現する。
• 有限双対構成は本質的な構造的性質を保存し、二つの双対圏間での表現論的データの移行を可能にする。