[論文レビュー] Finite element approximation of the Isaacs equation

Abner J. Salgado, Wujun Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、完全非線形楕円型偏微分方程式（PDE）の1つである Isaacs 方程式に対して、尺度 $h$ における有限要素離散化と尺度 $ε$ における数値積分に基づく統合微分近似を組み合わせることで、二尺度有限要素法を提案する。この手法は弱い鋭角メッシュ上での離散的最大原理を満たし、$C^{2,s}$ 型の正則性のもとで、$ω(\varepsilon^s + h/\varepsilon^2 |\log h|)$ の収束速度で粘性解に収束する。非凸な完全非線形 PDE に対しては、新規の二尺度 FEM フレームワークを用いて収束性と収束速度を確立した。

ABSTRACT

We propose and analyze a two-scale finite element method for the Isaacs equation. The fine scale is given by the mesh size $h$ whereas the coarse scale $\varepsilon$ is dictated by an integro-differential approximation of the partial differential equation. We show that the method satisfies the discrete maximum principle provided that the mesh is weakly acute. This, in conjunction with weak operator consistency of the finite element method, allows us to establish convergence of the numerical solution to the viscosity solution as $\varepsilon, h o0$, and $\varepsilon \gtrsim h^{1/2}|\log h|$. In addition, using a discrete Alexandrov Bakelman Pucci estimate we deduce rates of convergence, under suitable smoothness assumptions on the exact solution.

研究の動機と目的

• 古典的な変分法が粘性解フレームワークの下で失敗するため、完全非線形楕円型 PDE、特に Isaacs 方程式に対して収束する有限要素法を開発すること。
• 完全非線形 PDE に対する強固な有限要素法の欠如に応えるために、メッシュに基づく FEM と非局所的統合微分近似を組み合わせた二尺度アプローチを導入すること。
• 離散的最大原理と弱い作用素の一致性を活用することで、手法の収束性と収束速度を確立すること。
• 凸／凹型方程式に対する既存の収束結果を、Isaacs 方程式をモデル問題として用いることで、非凸／非凹型への拡張すること。
• 収束速度を維持しながら、効率的な計算を可能にする、実用的な四則演算ベースの実装を提供すること。

提案手法

• 本手法は二尺度分解を用いる：細粒度 FEM（メッシュサイズ $h$）と、Caffarelli と Silvestre が提案したヘッセ項の近似に基づく、尺度 $\varepsilon$ における非局所的統合微分作用素による粗粒度近似。
• Isaacs 作用素はラプラシアンと、中心差分作用素 $\mathfrak{d}u(x,y) = u(x+y) - 2u(x) + u(x-y)$ を含む非局所項の和に書き直される。
• 非局所項は、コンパクトな台を持つ回軸対称カーネル $\varphi$ における数値積分公式を用いて近似され、二次多項式に対して正確な離散作用素 $I_{\varepsilon,h}[w](x)$ が得られる。
• 離散スキームは、すべてのノード $z \in \mathscr{N}_h$ に対して $\bar{\mathfrak{L}}_h^\varepsilon[\tilde{v}_h^\varepsilon](z) = \frac{\lambda}{2}\Delta_h \tilde{v}_h^\varepsilon(z) + I_{\varepsilon,h}[\tilde{v}_h^\varepsilon](z) = f_z$ の形で定式化され、一貫性と単調性が保証される。
• メッシュが弱い鋭角であれば、離散的最大原理が満たされ、これは粘性解への収束に不可欠である。
• 実装は効率的である：係数行列は、事前に $\omega_j \varphi(\xi_j)$ の重みを計算し、基底関数を $z + \varepsilon M(z)\xi_j$ の点でのみ評価することで構築可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な FEM ツールのみを用いて、非凸な完全非線形 PDE である Isaacs 方程式の粘性解に収束する二尺度有限要素法を設計可能か？
• RQ2 提案手法は弱い鋭角メッシュ上でも離散的最大原理を満たすか？ これにより、粘性解理論に基づく収束が可能か？
• RQ3 正確な解が $C^{2,s}(\bar{\Omega})$ に属する場合、収束速度はどのようになるか？
• RQ4 非局所作用素における数値積分誤差は、全体の収束速度にどのように影響するか？
• RQ5 収束性と収束速度の見積もりを維持しながら、効率的な行列アセンブリを実現できる実装が可能か？

主な発見

• 弱い鋭角メッシュ上では、離散的最大原理が満たされ、これは粘性解への収束を保証するために不可欠である。
• 収束は $h, \varepsilon \to 0$ の下で成立し、$\varepsilon \gtrsim h^{1/2} |\log h|$ の条件のもとで安定性と一貫性が保証される。
• $C^{2,s}$ 正則性のもとで、$L^\infty$ ノルムにおいて収束速度 $\mathcal{O}(\varepsilon^s + h/\varepsilon^2 |\log h|)$ を達成する。
• 非局所作用素における数値積分誤差は、$C^{2,s}$ 関数に対して $\mathcal{O}(\varepsilon^s)$ で有界であり、これは $x + B_\varepsilon$ 上での局所的二次近似によるものである。
• 離散 Alexandrov-Bakelman-Pucci 評価を用いて収束速度を導出し、最大原理と誤差制御を結びつける。
• 実装は計算的に実行可能である：基底関数の評価は $z + \varepsilon M(z)\xi_j$ の点でのみ局所的に行い、重みは事前に計算済みであるため、効率的な行列アセンブリが可能である。