[論文レビュー] Non-Kähler Calabi-Yau manifolds

Valentino Tosatti|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 49被引用数 39

ひとこと要約

本稿は、非ケーラーなカルビ・ヤウ多様体を、第一ボット＝チエルン類が消える、$ c_1^{\mathrm{BC}}(M) = 0 $ であるコンpakト複素多様体として定義し、研究する。これは、ケーラーでない計量を許容することで、ケーラー・カルビ・ヤウ多様体を一般化する。3種類の異なる変形タイプを用いて、チャーン＝リッチ平坦計量の存在を確立し、基準計量がケーラーまたはアスティェノ・ケーラーである場合に、そのような計量が存在することを示し、ヤウの定理を非ケーラー設定に拡張する。

ABSTRACT

We study the class of compact complex manifolds whose first Chern class vanishes in the Bott-Chern cohomology. This class includes all manifolds with torsion canonical bundle, but it is strictly larger. After making some elementary remarks, we show that a manifold in Fujiki's class C with vanishing first Bott-Chern class has torsion canonical bundle. We also give some examples of non-Kahler Calabi-Yau manifolds, and discuss the problem of defining and constructing canonical metrics on them.

研究の動機と目的

• ボット＝チエルンコhomologyを用いて、より広い非ケーラー・カルビ・ヤウ多様体のクラスを定義・研究し、古典的なケーラー・カルビ・ヤウ条件を一般化すること。
• ケーラー構造が存在しないにもかかわらず、コンパクト複素多様体にチャーン＝リッチ平坦計量が存在するかを検討すること。
• チャーン＝リッチ曲率とモンジュ＝アンペール型方程式を用いて、リッチ平坦計量の存在に関するヤウの定理の非ケーラー版を確立すること。
• 非ケーラー設定におけるバランス計量、ビスマール接続曲率、および特殊ホロノミーの関係を調査すること。
• さまざまな幾何的仮定の下で、『形式型カルビ・ヤウ方程式』の可解性を検討し、チャーン＝リッチ平坦計量の構成を試みること。

提案手法

• コンパクト複素多様体 $ M $ に対して、$ H^{1,1}_{\mathrm{BC}}(M,\mathbb{R}) $ 内で $ c_1^{\mathrm{BC}}(M) = 0 $ であるものとして、非ケーラー・カルビ・ヤウ多様体を定義する。これは、ケーラー・カルビ・ヤウ条件を一般化する。
• チャーン＝リッチ形式 $ \mathrm{Ric}(\omega) = -\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\log\det g $ を用いて、$ c_1^{\mathrm{BC}}(M) = 0 $ の条件を、ある滑らかな関数 $ F $ を用いて $ \mathrm{Ric}(\omega) = \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}F $ と特徴付ける。
• 3種類の異なるアンザッツを用いてチャーン＝リッチ平坦計量を構成する：共形スケーリング $ \tilde{\omega}_1 = e^{\varphi_1}\omega $、$ \partial\overline{\partial} $-変形 $ \tilde{\omega}_2 = \omega + \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\varphi_2 $、形式型変形 $ \tilde{\omega}_3^{n-1} = \omega^{n-1} + \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}(\varphi_3\omega_0^{n-2}) $。
• モンジュ＝アンペール方程式 $ \tilde{\omega}^n = e^{F+b}\omega^n $ が解をもち、かつ $ \tilde{\omega}^{n-1} = \omega^{n-1} + \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}(u\omega_0^{n-2}) $ を満たすならば、$ \mathrm{Ric}(\tilde{\omega}) = 0 $ であることを証明し、これにより形式型カルビ・ヤウ方程式と関連付ける。
• 基準計量 $ \omega_0 $ がケーラーである場合、Weinkove と Tosatti [75] の $ (n-1) $-擬・シュブハーモニック関数に関する結果を用いて、形式型カルビ・ヤウ方程式の可解性を確立する。
• アスティェノ・ケーラーの場合に一般化し、$ \partial\overline{\partial}(\omega_0^{n-2}) = 0 $ であるとき、問題は [76] と同様に2次の事前推定に帰着される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボット＝チエルンコhomology類を用いて、非ケーラーなHermitian多様体に対し、ヤウの定理を拡張できるか？
• RQ2 コンパクト複素多様体 $ M $ に対して $ c_1^{\mathrm{BC}}(M) = 0 $ であるとき、どのような幾何的・解析的条件下でチャーン＝リッチ平坦計量が存在するか？
• RQ3 共形、$ \partial\overline{\partial} $、形式型の3つの異なるチャーン＝リッチ平坦計量の変形タイプは、どのように互いに関係し、それらの背後にある幾何にどのように関係するか？
• RQ4 形式型カルビ・ヤウ方程式が解をもつ条件は何か？ また、これは $ SU(n) $ に制限されたホロノミーを持つ特別な計量の存在とどのように関係するか？
• RQ5 $ c_1^{\mathrm{BC}}(M) = 0 $ を満たすバランス計量におけるビスマール接続がリッチ平坦接続を与えるか？ これはホロノミーと物理的モデルにどのような意味を持つのか？

主な発見

• $ c_1^{\mathrm{BC}}(M) = 0 $ で定義される非ケーラー・カルビ・ヤウ多様体のクラスは、ケーラー・カルビ・ヤウ多様体および正則接続バンドルがねじれを持つ多様体を厳密に含む。
• 任意のコンパクト複素多様体 $ M $ に対して、$ c_1^{\mathrm{BC}}(M) = 0 $ である限り、共形、$ \partial\overline{\partial} $-変形、形式型変形の3種類の異なるチャーン＝リッチ平坦Hermitian計量が存在する。各計量は定数の違いを除き一意に定まる。
• 基準計量 $ \omega_0 $ がケーラーである場合、形式型カルビ・ヤウ方程式 $ \tilde{\omega}^{n-1} = \omega^{n-1} + \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}(u\omega_0^{n-2}) $ および $ \tilde{\omega}^n = e^{F+b}\omega^n $ は一意な解 $ \tilde{\omega} $ を持ち、これはKählerの場合におけるConjecture 4.2を証明し、したがってConjecture 4.1も証明する。
• チャーン＝リッチ平坦バランス計量の存在は、ビスマール接続のリッチ曲率も消えることを示唆し、$ SU(n) $ に制限されたホロノミーを示唆する。これは弦理論や数学的物理において重要な性質である。
• この結果はアスティェノ・ケーラー設定へも拡張可能であり、方程式の可解性は、[76] と同様に、潜在関数 $ u $ に対する2次推定の証明に帰着される。
• $ M $ がケーラーであっても、$ n \geq 3 $ の場合、得られるチャーン＝リッチ平坦計量 $ \tilde{\omega} $ は一般にケーラーでない。これは、非ケーラー設定が真に新しい特別な計量の例を生み出すことを示している。