[論文レビュー] Finite Horizon Density Control for Static State Feedback Linearizable Systems

Kenneth F. Caluya, Abhishek Halder|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2019

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 61被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、静的状態フィードバック線形化可能システムに対する有限区間密度制御フレームワークを提案する。最適輸送理論とシュレーディンガー・ブリッジ理論を活用して、初期の連合状態確率密度関数を目的の密度関数に制御する。最小エネルギー制御入力の存在と一意性を確立し、実行可能なフィードバック制御設計のための計算アルゴリズムを提供する。フィードバック線形化を介してベンアム＝ブレニエ最適輸送を非線形システムへ一般化する。

ABSTRACT

We consider the problem of steering the joint state probability density function of a static feedback linearizable control system over finite time horizon. Potential applications include controlling neuronal populations, swarm guidance, and probabilistic motion planning. Our theoretical developments reveal the structure of the minimum energy controller for the same, and can be viewed as a generalization of the Benamou-Brenier theory for dynamic optimal transport. Further analytical results are derived for solving the feasibility problem, i.e., for finding feedback that steers a given joint density function to another in fixed time, subject to the controlled nonlinear dynamics. An algorithm based on the Schrödinger bridge is proposed to approximate a feasible controller; a numerical example is worked out to illustrate the same.

研究の動機と目的

• 非線形制御システムの連合状態確率密度関数（PDF）を、有限時間区間内で初期PDFから目的PDFへと制御する問題に取り組む。
• 最小エネルギー制御入力の構造を導出することにより、ベンアム＝ブレニエ最適輸送フレームワークを非線形でフィードバック線形化可能なシステムへ拡張する。
• フィードバック線形化可能な力学系下で、与えられた目的PDFが初期PDFから有限時間内に到達可能かどうかを特定する実行可能性問題を解く。
• 与えられた周辺分布をもつ確率的正則化問題を解くことで、実行可能な制御入力を近似する計算フレームワークを構築する。

提案手法

• 本稿は、制御入力の期待エネルギーを最小化する有限区間最適制御問題として密度制御問題を定式化し、制御された非線形力学系と所定の初期および終端PDFを制約条件として設定する。
• 非線形システムをフィードバック線形化により線形制御形式に変換し、線形化されたシステムに対して最適輸送理論を適用可能にする。
• 最小エネルギー制御入力は、非自励的勾配ベクトル場として導出され、ベンアム＝ブレニエ解を非線形フィードバック線形化可能システムへ一般化する。
• 与えられた周辺分布を持つ確率的正則化問題を解くことで、実行可能制御入力を近似するシュレーディンガー・ブリッジに基づく計算アルゴリズムを提案する。
• 逆関数定理と変換写像のヤコビアンのスペクトル解析を用いて、解の存在と一意性を証明する。ただし、ポテンシャル関数のヘッセ行列が正定値である条件を満たすものとする。
• 線形時不変系でノルム型構造を有する系に対して、状態遷移行列と可制御性グラミアンの明示的式を導出し、制御入力成分の閉形式計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 静的状態フィードバック線形化可能システムにおける有限区間密度制御において、最小エネルギー制御入力は明示的に特徴付け可能か？
• RQ2 フィードバック線形化可能な力学系下で、初期PDFから有限時間内に目的の連合PDFが到達可能となる条件は何か？
• RQ3 フィードバック線形化を介して、非線形システムの実行可能制御入力を近似するためのシュレーディンガー・ブリッジフレームワークはどのように適合可能か？
• RQ4 線形化されたシステムにおいて、最適制御入力の構造的形態はポテンシャル関数およびそのヘッセ行列を用いてどのように記述できるか？
• RQ5 可制御性グラミアンと状態遷移行列は、密度制御問題の実行可能性とエネルギーコストにどのように影響を与えるか？

主な発見

• フィードバック線形化可能システムにおける最小エネルギー制御入力は、非自励的勾配ベクトル場として示され、ベンアム＝ブレニエ理論が非線形システムへ拡張された。
• ポテンシャル関数のヘッセ行列が正定値であり、端点のPDFがゼロから離れている条件の下で、密度制御問題の解の存在と一意性が確立された。
• ノルム型構造を有する線形時不変系に対しては、状態遷移行列と可制御性グラミアンの明示的閉形式式が導出され、制御入力の解析的計算が可能となった。
• 初期状態から最終状態への変換写像のヤコビアンが非特異であることが証明され、写像の逆写像性が保証され、結果として実行可能性問題の解が一意に存在することが裏付けられた。
• シュレーディンガー・ブリッジに基づくアルゴリズムは、実行可能制御入力を効果的に近似でき、低次元例における数値的妥当性が確認され、収束性と実行可能性が示された。
• フィードバック線形化を活用することで、最適輸送理論が非線形システムへ一般化され、非線形力学下でもエネルギーを最小化し、かつ実行可能な密度形状設計が可能となった。