[論文レビュー] Finite Morse index solutions and asymptotics of weighted nonlinear elliptic equations

Yihong Du, Zongming Guo|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、重み付き非線形楕円型方程式の有限モルス指数解を、ハードイ・ポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式への変換によって分析するための枠組みを確立する。解の定性的な挙動を分ける二つの臨界指数 $p$ を同定し、直接的に変換された方程式から得るのが難しい安定性および漸近的性質を明らかにする。

ABSTRACT

By introducing a suitable setting, we study the behavior of finite Morse index solutions of the equation \[ -\{div} (|x|^θ abla v)=|x|^l |v|^{p-1}v \;\;\; \{in $Ω\subset \R^N \; (N \geq 2)$}, \leqno(1) \] where $p>1$, $θ, l\in\R^1$ with $N+θ>2$, $l-θ>-2$, and $Ω$ is a bounded or unbounded domain. Through a suitable transformation of the form $v(x)=|x|^σu(x)$, equation (1) can be rewritten as a nonlinear Schrödinger equation with Hardy potential $$-Δu=|x|^α|u|^{p-1}u+\frac{\ell}{|x|^2} u \;\; \{in $Ω\subset \R^N \;\; (N \geq 2)$}, \leqno{(2)}$$ where $p>1$, $α\in (-\infty, \infty)$ and $\ell \in (-\infty,(N-2)^2/4)$. We show that under our chosen setting for the finite Morse index theory of (1), the stability of a solution to (1) is unchanged under various natural transformations. This enables us to reveal two critical values of the exponent $p$ in (1) that divide the behavior of finite Morse index solutions of (1), which in turn yields two critical powers for (2) through the transformation. The latter appear difficult to obtain by working directly with (2).

研究の動機と目的

• 特異的または退化する係数を有する重み付き楕円型方程式における一貫性のある有限モルス指数理論の構築。
• 穿孔領域、外部領域、および全空間における解の漸近的挙動および安定性の分析。
• 特異性の除去可能性および安定性に関して異なる解の挙動を分ける指数 $p$ の臨界値の同定。
• ハードイ・ポテンシャルを伴うシュレーディンガー方程式への変換が解の安定性を保存することを示し、臨界指数の明確な同定を可能にする。
• 従来の研究では、複雑なパrameter依存性のため、シュレーディンガー形式から直接臨界指数を導出することが困難であったという制限を解消する。

提案手法

• 重み付き方程式を非線形シュレーディンガー方程式に変換するための変換 $v(x) = |x|^\sigma u(x)$ を導入する。
• 自然な変換のもとで安定性を保つ設定において有限モルス指数を定義し、同等の定式化間での一貫性を確保する。
• ケルビン変換を用いて外部領域における解と穿孔球内における解を関連づけ、対称性に基づく解析を可能にする。
• 適切に選ばれた切り捨て関数を用いた比較法およびテスト関数法を適用し、除去不能な特異性のための積分的推定および矛盾を導出する。
• 角運動量作用素のスペクトルギャップに関連する関数 $f_\tau(p)$ を分析し、安定性の閾値を特定する。
• 安定解、不安定解、特異解の領域を分ける臨界指数 $\tilde{p}_c(N', \tau)$ および $p_c(N, 0)$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き楕円型方程式の有限モルス指数解の安定性および漸近的挙動を決定する $p$ の臨界値は何か？
• RQ2 ハードイ・ポテンシャルを伴うシュレーディンガー方程式への変換は、解のモルス指数および安定性にどのように影響するか？
• RQ3 有限モルス指数解において、原点における孤立特異性が除去可能となる条件は何か？
• RQ4 なぜシュレーディンガー方程式形式の臨界指数を直接導出するのが困難であり、元の重み付き形式がどのようにこの問題を簡略化するか？
• RQ5 ケルビン変換は、有界な穿孔領域から外部領域への結果の拡張にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 二つの臨界指数 $\tilde{p}_c(N', \tau)$ および $p_c(N, 0)$ が出現し、重み付き方程式における有限モルス指数解の挙動を分ける。
• 範囲 $\tilde{p}_c(N', \tau) < p < \min\left\{\frac{N'+2+2\tau}{N'-2}, p_c(N, 0)\right\}$ において、有限モルス指数解は原点における除去可能な特異性を持つ。
• $p \in \left(\frac{N'+\tau}{N'-2}, \tilde{p}_c(N', \tau)\right]$ の場合、原点に孤立特異性を持つ安定な正の解が存在する。
• 変換 $v(x) = |x|^\sigma u(x)$ は解の安定性を保存するため、シュレーディンガー形式では見えにくくなる臨界指数の同定が可能になる。
• スペクトルギャップに関連する関数 $f_\tau(p)$ は安定性を決定する：$f_\tau(p) \leq \frac{(N'-2)^2}{4}$ ならば安定性が保証される。
• $r$ の対数的増大を伴うテスト関数を用いた矛盾論法により、除去不能な特異性を持つ解は発散積分を引き起こし、有限モルス指数であることを否定することが確認された。