[論文レビュー] Finite subgroups of diffeomorphism groups

Vladimir L. Popov|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、任意の $ n \geq 4 $ に対して、すべての有限生成群の同型コピーを自由に作用させる部分群として含む、単連結で非コンパクトな滑らかな $ n $ 次元多様体が存在することを確立している。このことは、その微分同相群が非ジョーダン的であることを示唆する。さらに、コンパクト多様体の微分同相群における有限単純部分群に関する有限性定理を証明し、その位数が多様体の不変量によって有界づけられることを示している。

ABSTRACT

We prove:(1) the existence, for every integer n > 3, of a noncompact smooth n-dimensional topological manifold whose diffeomorphism group contains an isomorphic copy of every finitely presented group; (2) a finiteness theorem on finite simple subgroups of diffeomorphism groups of compact smooth topological manifolds.

研究の動機と目的

• 滑らかな位相的多様体の微分同相群内の有限部分群の構造を調査し、特に非コンパクト多様体とコンパクト多様体のケースを対比する。
• 多様体の微分同相群がジョーダン的であるかどうか、すなわちすべての有限部分群が有界なリストからの有限群によるアーベル群の拡張であるかどうかを特定する。
• コンパクト滑らかな多様体の微分同相群における有限単純部分群に関する有限性結果を確立する。
• 微分同相群にすべての有限生成群を離散的かつ自由に作用させる部分群として含む、非コンパクト多様体の具体的な例を構成する。
• 多様体に内在する不変量 $ e_M $、すなわち $ \mathrm{Diff}(M) $ の有限部分群における初等アーベル部分群の最大ランクを用いて、有限単純部分群のパラメータ（例：ランク、位数）を評価する。

提案手法

• 任意の有限生成群を、ある有限生成の普遍群 $ \widetilde{G} $ に埋め込むためのヒグマンの埋め込み定理を用いる。この $ \widetilde{G} $ は、コンパクトで滑らかで向き付け可能な 4 次元多様体の基本群として実現可能である。
• その 4 次元多様体の万有被覆として、単連結で非コンパクトな多様体 $ C_n $ を構成し、その微分同相群に基本群が離散的かつ自由に作用する部分群として含まれることを示す。
• ジョーダン群の定義を適用する：群がジョーダン的であるとは、すべての有限部分群が、ある定数 $ d_G $ 以下の指数をもつ正規アーベル部分群を含むことである。
• コンパクト多様体に対しては、$ \mathrm{Diff}(M) $ の有限部分群における初等アーベル部分群の最大ランク $ e_M $ を分析することで、有限単純部分群の大きさを評価する。
• 有限単純群の各族（例：$ \mathrm{Alt}_n $、$ {}^2B_2(2^{2n+1}) $、古典的および例外的チェヴァリーグループ）に対して、初等アーベル部分群の位数を計算し、そのランクを $ e_M $ に等置することで、群のパラメータの上界を導出する。
• 既知の群論的結果（例：[Vd01]、[W09]、[Ba79] より）を用いて、各有限単純群の型における最大の初等アーベル部分群を同定し、$ e_M $ を含む不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトな滑らかな多様体の微分同相群は、すべての有限生成群の同型コピーを含むことができるか？
• RQ2 微分同相群が非ジョーダン的であるような非コンパクト多様体は存在するか？
• RQ3 コンパクトな滑らかな多様体に対して、その微分同相群の有限単純部分群の位数に一様な上限が存在するか？
• RQ4 有限単純部分群のパラメータ（例：ランク、位数）は、多様体 $ M $ の幾何的不変量とどのように関係するか？
• RQ5 多様体 $ M $ の有限部分群における初等アーベル部分群の最大ランク $ e_M $ が与えられたとき、$ \mathrm{Diff}(M) $ の有限単純部分群の最大サイズは何か？

主な発見

• 任意の $ n \geq 4 $ に対して、単連結で非コンパクトで滑らかで向き付け可能な $ n $ 次元多様体 $ C_n $ が存在し、$ \mathrm{Diff}(C_n) $ はすべての有限生成群の自由に作用する同型コピーを含む。
• この結果として、すべての $ n \geq 4 $ に対して $ \mathrm{Diff}(C_n) $ は非ジョーダン的である。なぜなら、$ n $ が大きいときの $ \mathrm{Alt}_n $ のような任意に大きな有限単純群を含むため、ジョーダンの性質に反する。
• 任意のコンパクト滑らかな多様体 $ M $ に対して、$ \mathrm{Diff}(M) $ の任意の有限部分群における初等アーベル部分群の最大ランク $ e_M $ は、$ \mathrm{Diff}(M) $ のすべての有限単純部分群のパラメータを有界づける。
• $ \mathrm{Alt}_n $ に対しては、$ 3^{\lfloor n/3 \rfloor} $ の位数をもつ初等アーベル部分群の存在から、$ n \leq 3e_M + 2 $ の上界が導かれる。
• 古典的群 $ \mathrm{PSL}_n(p^a) $ に対しては、$ p^{a s(n-s)} $ の位数をもつ初等アーベル部分群のランクを分析することで、$ a[n/2](n - [n/2]) \leq e_M $ の不等式が得られる。
• 例外的群 $ E_8(p^a) $ に対しては、$ p^{36a} $ の位数をもつ初等アーベル部分群の存在から、$ a \leq e_M / 36 $ の上界が導かれる。