[論文レビュー] Finite sums of projections in von Neumann algebras

Herbert Halpern, Victor Kaftal+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、フォン・ノイマン代数における正規作用素が有限個の射影の和であるためのスペクトル的およびイデアル的条件を確立する。σ-有限な適切に無限型因子では、正規作用素の本質的ノルムが1より大きい場合に、それが有限個の射影の和であることを証明し、一般の適切に無限型代数では中心的本質的スペクトルを用いた特徴づけを提供する。主な結果の一つは、型II₁因子において、τ(a₊) > τ(a₋) を満たす対角化可能な作用素aが有限個の射影の和であるということである。

ABSTRACT

We first prove that in a sigma-finite von Neumann factor M, a positive element $a$ with properly infinite range projection R_a is a linear combination of projections with positive coefficients if and only if the essential norm ||a||_e with respect to the closed two-sided ideal J(M) generated by the finite projections of M does not vanish. Then we show that if ||a||_e>1, then a is a finite sum of projections. Both these results are extended to general properly infinite von Neumann algebras in terms of central essential spectra. Secondly, we provide a necessary condition for a positive operator a to be a finite sum of projections in terms of the principal ideals generated by the excess part a_+:=(a-I)χ_a(1,\infty) and the defect part a_-:= (I-a)χ_a(0, 1) of a; this result appears to be new also for B(H). Thirdly, we prove that in a type II_1 factor a sufficient condition for a positive diagonalizable operators to be a finite sum of projections is that τ(a_+)- τ(a_-)>0.

研究の動機と目的

• フォン・ノイマン代数における正規作用素が有限個の射影の和である条件を特徴づけること。
• B(H)における有限個の射影の和に関する既知の結果を、特に型II₁因子および適切に無限型因子に一般化すること。
• 正規作用素が有限個の射影の和であるための必要条件を、その過剰部と欠損部を用いて提示すること。
• 主定理における対角化可能性の仮定を外すことは可能かを検討し、今後の研究の新たな方向性を開くこと。

提案手法

• 有限射影が生成するイデアルJ(M)に関する中心的本質的スペクトルを用いて、正規性およびスペクトル的性質を特徴づける。
• 補題2.8の適用：大きな部分空間上で局所的可逆な作用素と正規作用素の直和は、射影の正の線形結合として表せることを示す。
• 型II₁因子におけるトレースを保つ分解を用いて射影を分解し、問題を補題6.1を満たす和成分に還元する。
• トレース不等式τ(a₊) > τ(a₋)および有限射影の和の条件を用いて、aに等しい有限射影の和の存在を保証する。
• ユニタリ同値性およびスペクトル分解の技法を用いて、非対角化可能な作用素を扱うが、主定理では対角化可能性を仮定している。
• 射影の分解とトレースの一致を用いて、問題を有限次元部分代数に還元し、射影の和に関する既知の結果を適用可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォン・ノイマン代数における正規作用素が有限個の射影の和であるための、スペクトル的およびイデアル的条件は何か？
• RQ2 対角化可能性がなければ、型II₁因子においてτ(a₊) > τ(a₋) が有限個の射影の和であるための十分条件となるか？
• RQ3 トレースに基づく基準τ(a₊) > τ(a₋) がaが有限個の射影の和であることを示すために、対角化可能性の仮定が必要か？
• RQ4 適切に無限型フォン・ノイマン代数において、作用素の本質的ノルムとその有限個の射影の和としての表現との関係は何か？
• RQ5 有限射影が生成するイデアルJ(M)は、一般のフォン・ノイマン代数における有限個の射影の和を特徴づける際に果たす役割は何か？

主な発見

• σ-有限な適切に無限型フォン・ノイマン因子において、範囲射影が適切に無限型である正規作用素aは、J(M)に関するその本質的ノルム∥a∥ₑが1より大きいときかつそのときに限り、有限個の射影の和である。
• ∥a∥ₑ > 1 ならば、aは有限個の射影の和である。これは、B(H)における既知の結果を一般の適切に無限型フォン・ノイマン代数に拡張するものである。
• 型II₁因子において、対角化可能な正規作用素aは、τ(a₊) > τ(a₋) であるとき、有限個の射影の和である。ここでa₊とa₋はaの過剰部および欠損部である。
• 範囲射影Rₐが無限大である場合には、τ(a₊) > τ(a₋) だけでは十分でない。a₊ ∈ J(M) ではあるがτ(a₊) = ∞となる反例により示される。
• 証明は、型II₁因子におけるトレース一致による射影の分解と、補題6.1を用いて各和成分が有限個の射影の和であることを示すことに依存する。
• 対角化可能性の仮定は、問題を扱いやすい形に還元するために用いられるが、一般にはこの仮定を外せるかは未解決のまま残されている。