[論文レビュー] Finite-time Singularity Formation for Strong Solutions to the Boussinesq System

Tarek M. Elgindi, In‐Jee Jeong|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 41被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、2次元Boussinesq系の扇型領域 $\Omega_\gamma$ 上で、有限エネルギーかつ $C^\infty$-滑らかさを満たす解を構成し、2次元Euler方程式が常に大域的正則性を保つにもかかわらず、有限時間内に特異点が発生することを示している。特異性は、密度勾配に起因する渦度の増幅によって生じる。これはスケール不変解とカットオフ法を用いて有限エネルギーを保証するが、特異性の発生は $t \to 1^-$ において速度と密度の勾配の爆発として現れる。

ABSTRACT

The global regularity problem for the Boussinesq system is a well known open problem in mathematical fluid dynamics. As a follow up to our work \cite{EJSI}, we give examples of finite-energy and Lipschitz continuous velocity field and density $(u_0,ρ_0)$ which are $C^\infty$-smooth away from the origin and belong to a natural local well-posedness class for the Boussinesq equation whose corresponding local solution becomes singular in finite time. That is, while the sup norm of the gradient of the velocity field and the density remain finite on the time interval $t\in [0,1)$, both quantities become infinite as $t ightarrow 1$. The key is to use scale-invariant solutions similar to those introduced in \cite{EJSI}. The proof consists of three parts: local well-posedness for the Boussinesq equation in critical spaces, the analysis of certain special infinite-energy solutions belonging to those critical spaces, and finally a cut-off argument to ensure finiteness of energy. All of this is done on spatial domains $\{(x_1,x_2): x_1 \ge γ|x_2|\}$ for any $γ> 0$ so that we can get arbitrarily close to the half-space case. We remark that the $2D$ Euler equation is globally well-posed in all of the situations we look at, so that the singularity is not coming from the domain or the lack of smoothness on the data but from the vorticity amplification due to the presence of a density gradient. It is conceivable that our methods can be adapted to produce finite-energy $C^\infty$ solutions on $\mathbb{R}^2_+$ which become singular in finite time.

研究の動機と目的

• 2次元Boussinesq系の強解について、有限エネルギーの臨界定常クラスで有限時間特異性が形成されることを示すこと。
• 2次元Euler方程式とは異なり、密度勾配に起因する渦度増幅が特異性形成のメカニズムであることを特定すること。
• 鋭角（$\gamma > 0$）を有する領域上で、$C^\infty$-滑らかで有限エネルギーな初期データを構成し、それらが有限時間内に勾配爆発を引き起こすこと。
• 臨界定常空間へのスケール不変解法の拡張と、カットオフ法による有限エネルギーの確保を併せて行い、特異性形成を維持すること。
• 特異性は境界の不規則性や初期データの滑らかさ不足に起因するのではなく、渦度と密度勾配の非線形結合に起因することを示すこと。

提案手法

• $\gamma > 0$ に対して、$\Omega_\gamma = \{(x_1,x_2) : x_1 \geq \gamma |x_2|\}$ として定義される扇型領域上での2次元Boussinesq系に対して、1次同次関数としてのスケール不変解を構成する。
• 原点における完全なBoussinesq方程式の簡略化された1次元系を用い、渦度 $\omega(0)$ と密度勾配 $\partial_{x_1}\rho(0), \partial_{x_2}\rho(0)$ の時間発展を捉える。
• 変数 $A = \omega(0)$, $B = \partial_{x_1}\rho(0)$, $C = \partial_{x_2}\rho(0)$ に対する常微分方程式系を導出：$A' = C$, $B' = -\frac{1}{1-\beta^2}AC$, $C' = -\frac{\beta^2}{1-\beta^2}AB$ で、$\beta = \gamma^{-1}$ とする。
• $\beta < 1/2$（すなわち $\gamma > 2$）の場合、$C_0 > 0$ ならば、$C$ と $A$ が指数関数的に増大するため、有限時間内に特異性が発生することを証明する。
• スケール不変解を局所化するためのカットオフ手続きを適用し、有限エネルギーを保ちつつ特異性のメカニズムを維持する。
• 臨界定常 Hölder 空間 $C^{k,\alpha}$（$\alpha < 1/\beta - k - 2$）において局所的well-posednessを確立し、特異性発生まで解が所定の正則性クラスに留まることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限エネルギーかつ $C^\infty$-滑らかさを満たす2次元Boussinesq系の解は、2次元Euler方程式が大域的正則性を保つにもかかわらず、有限時間内に特異点を形成しうるか？
• RQ2 粘性がない状況下で、密度勾配はどのように渦度増幅と特異性形成を可能にするか？
• RQ3 スケール不変解を用いて、元々有限エネルギーでない解からでも、有限エネルギーを保ちつつ有限時間内に爆発する解を構成できるか？
• RQ4 特異性形成のメカニズムは、領域の切断やカットオフに対して頑健であるか？また、半平面 $\mathbb{R}^2_+$ へも拡張可能か？
• RQ5 特に扇型領域の角度に起因する領域の幾何学的性質が、Boussinesq系における有限時間爆発の可能性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $\gamma > 0$ に対して、扇型領域 $\Omega_\gamma$ 上に有限エネルギーかつ $C^\infty$-滑らかな初期データが存在し、それに対応する2次元Boussinesq系の強解が有限時間内に特異点に達することを示した。
• 速度場の勾配および密度の両方が $t \to 1^-$ において爆発するが、初期データは $W^{1,\infty}$ に属し、リプシッツ連続性を保っている。
• 特異性形成は境界効果や初期データの滑らかさ不足によるものではなく、密度勾配に起因する渦度の非線形増幅に起因する。
• $\beta < 1/2$（すなわち $\gamma > 2$）の場合、原点における簡略化されたODE系は $\partial_{x_2}\rho_0(0) > 0$ のとき有限時間内に特異性を示し、$A(t)$ と $C(t)$ は無限大に発散する。
• 同じ条件下で2次元Euler方程式は依然として大域的well-posedであるため、特異性はBoussinesq系特有の密度-渦度結合に起因することを確認した。
• 本手法は頑健であるため、$\mathbb{R}^2_+$ 上でも有限エネルギー $C^\infty$ 解が有限時間内に特異点を形成する可能性があると示唆しているが、これについてはさらなる解析を要する。