[論文レビュー] Finite-Time Stabilization Of Systems Of Conservation Laws On Networks

Vincent Perrollaz, Lionel Rosier|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2013

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非リプシッツ境界フィードバック則を用いて、ネットワーク上の1次元準線形双曲型系の有限時間安定化戦略を提示する。小さなリプシッツ連続初期データに対する解は、両端を制御する場合およそ $1/c$、一方の端のみを制御する場合およそ $2/c$ の時間で原点に到達することを、固定点法とエネルギー推定を用いて証明する。

ABSTRACT

We investigate the finite-time boundary stabilization of a 1-D first order quasilinear hyperbolic system of diagonal form on [0,1]. The dynamics of both boundary controls are governed by a finite-time stable ODE. The solutions of the closed-loop system issuing from small initial data in Lip([0,1]) are shown to exist for all times and to reach the null equilibrium state in finite time. When only one boundary feedback law is available, a finite-time stabilization is shown to occur roughly in a twice longer time. The above feedback strategy is then applied to the Saint-Venant system for the regulation of water flows in a network of canals.

研究の動機と目的

• 1次元準線形双曲型系のネットワーク上における有限時間安定化を確立すること。
• 波動方程式の有限時間消滅性質をリーマン不変量を持つより一般的な双曲型系へ拡張すること。
• 有限時間安定な常微分方程式に基づく境界フィードバック則を設計し、平衡状態への迅速な収束を保証すること。
• 水路ネットワークにおける水路流量制御を目的としたサント・ヴェナン系の安定化を分析すること。
• 初期データに最小限の正則性仮定を置いた場合の解の存在、一意性、および有限時間減衰を証明すること。

提案手法

• リーマン不変量 $u$ と $v$ を用いて、準線形双曲型系を対角形に変換する。
• 非リプシッツ境界フィードバック則を適用：$\frac{d}{dt}u(t,0) = -K \text{sgn}(u(t,0))|u(t,0)|^\gamma$ および同様に $v(t,1)$ に対して、$K>0$、$\gamma \in (0,1)$。
• リプシッツ連続関数の空間におけるシュワルツの定理に基づく固定点法を用いて、解の存在と一意性を証明する。
• エネルギー推定を用いて解の成長を制御し、有限時間減衰を保証する。
• 接続点における整合性条件を用いて、木構造の水路ネットワークへの帰納的拡張により、ネットワーク系への応用を実現する。
• 解を周期的に拡張し、流れの推定に適したリプシッツ正則性を保つ拡張作用素 $\Pi$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非リプシッツ境界フィードバック則を用いて、対角形1次元準線形双曲型系の有限時間安定化が達成可能か。
• RQ2 このようなフィードバック則のもとで、解がゼロに到達する最小時間は何か。また、その時間は系のパラメータにどのように依存するか。
• RQ3 両端を制御する場合と一方の端のみを制御する場合の有限時間安定化の挙動は、どのように異なるか。
• RQ4 この戦略は、サント・ヴェナン方程式に従う水路ネットワーク（例：水路網）へ拡張可能か。
• RQ5 初期データおよび系構造にどのような条件を課せば、平衡状態への有限時間収束が保証されるか。

主な発見

• 両端を制御する閉ループ系の解は、$\text{Lip}([0,1])$ に属する小さな初期データに対して、時間的に全域に定義され、有限時間で消滅する。その時間は $T \approx 1/c$ にほぼ等しい。
• 一方の端のみを制御する場合、波の反射と伝搬遅延のため、有限時間安定化には約2倍の時間がかかり、$T \approx 2/c$ となる。
• 有限時間安定化は、$\dot{u} = -K \text{sgn}(u)|u|^\gamma$ の形をした非リプシッツフィードバック則により達成され、境界におけるODEダイナミクスの有限時間収束を保証する。
• 解の存在と一意性は、シュワルツの固定点定理とリプシッツ連続関数空間におけるエネルギー推定を用いて確立される。
• 木構造の水路ネットワークへの応用は、ネットワークの深さに関する帰納法により実現され、各接続点で有限時間減衰が保証される。
• 開放水路流れを記述するサント・ヴェナン系が、このフィードバック戦略により有限時間安定化可能であることが示され、水位および流量の迅速な制御が可能になる。