[論文レビュー] Boundary input-to-state stabilization of a damped Euler-Bernoulli beam in the presence of a state-delay

Hugo Lhachemi, Robert Shorten|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、時間変動する状態遅れを伴う減衰付きエーラー＝ベルヌーイ梁に対して、有限次元的断片化とLMIに基づく解析を用いた境界入力-状態安定化設計を提示する。分布型および境界型の摂動に対しても、記憶が薄れる型の指数的入力-状態安定性を確立し、遅延状態フィードバックおよび摂動に対してロバストであることを保証する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the point torque boundary feedback stabilization of a damped Euler-Bernoulli beam model in the presence of a time-varying state-delay. First, a finite-dimensional truncated model is derived by spectral reduction. Then, for a given stabilizing state-feedback of the delay-free truncated model, an LMI-based sufficient condition on the maximum amplitude of the state-delay is employed to guarantee the stability of the closed-loop state-delayed truncated model. Second, we assess the exponential stability of the resulting closed-loop infinite-dimensional system under the assumption that the number of modes of the original infinite-dimensional system captured by the truncated model has been selected large enough. Finally, we consider in our control design the possible presence of a distributed perturbation, as well as additive boundary perturbations in the control inputs. In this case, we derive for the closed-loop system an exponential input-to-state estimate with fading memory of the distributed and boundary disturbances.

研究の動機と目的

• 時間変動する状態遅れおよび外部摂動を伴うオープンループ不安定なエーラー＝ベルヌーイ梁の安定化という課題に対処すること。
• 無限次元境界制御系に状態遅れおよび境界摂動を含む場合の入力-状態安定性（ISS）理論を拡張すること。
• 分布型および境界型摂動の両方に対して、指数的ISS（記憶が薄れる型）を保証する点トルク境界フィードバック則を設計すること。
• 状態遅れを伴うPDEのうち、あまり研究が進んでいないクラスである梁方程式に、有限次元制御器合成を適用することで、既存の文献におけるギャップを埋めること。
• 遅延状態フィードバックおよび加法的摂動を含む現実的な条件下でも制御設計のロバスト性を検証すること。

提案手法

• スペクトル還元を用いてエーラー＝ベルヌーイ梁の有限次元的断片化モデルを導出する。このモデルは、主要な不安定モードを捉える。
• 閉ループ断片化系の安定性を保証するためのLMIに基づく十分条件を、最大遅延振幅に関して導出する。
• リャプノフ関数法を用いて、断片化モデルが十分に多くのモードを捉えている場合の無限次元閉ループ系の指数的安定性を評価する。
• 制御設計に加法的分布型および境界型摂動を組み込み、記憶が薄れる型の指数的ISS推定を導出する。
• 積分推定および遅延履歴を含むノルムバウンドを用い、$ \mathcal{I} $ および $ \|e^{\Lambda_n t}\| \leq e^{-2\eta t} $ の表記を用いて一時的増大を制御する。
• 遅延区間における状態ノルムの再帰的推定を確立し、グローバル安定性を証明する。最終的に、記憶が薄れる型のISS推定が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界フィードバック制御則は、時間変動する状態遅れを伴う減衰付きエーラー＝ベルヌーイ梁を安定化できるか。また、摂動に対してロバストであるか。
• RQ2 有限次元制御設計のもとで、閉ループ系が指数的安定性を保つために許容可能な最大遅延振幅は何か。
• RQ3 境界制御および状態遅れを伴う無限次元系に対して、記憶が薄れる型の入力-状態安定性をどのように確立できるか。
• RQ4 断片化モデルが捉えるモード数は、無限次元系の安定性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ5 分布型および境界型摂動は安定性にどのように影響を及ぼすか。また、その影響はISS推定において記憶が薄れる型でどのようにバウンドできるか。

主な発見

• 本稿では、閉ループ系に対して記憶が薄れる型の指数的入力-状態安定性を確立し、摂動が時間とともに記憶依存の重み付けで減衰することを保証する。
• 状態遅れ付き断片化モデルの安定性を保証するLMIに基づく条件が導出され、遅延振幅がシステムパラメータによって定義される閾値以下であれば成立する。
• 最大遅延振幅は、$ \xi_2 = 3m_{N_0+1}^2 / (2\eta^2) < 1 $ という条件によって制限され、これにより再帰的安定性推定が有界のまま保たれる。
• 状態ノルム $ \|c_n(t)\| $ は、初期条件、遅延状態、および摂動項の組み合わせによって有界に抑えられ、そのバウンドは $ \|\Phi\|_{1,h_M} $、$ \|d_d\| $、および $ \|d_b\| $ に依存する。
• 長さ $ h_m $ の区間における再帰的推定手順により、グローバルなISS推定（54）が導出され、$ \lceil h_M / h_m \rceil $ ステップを経て最終的なバウンド（46）が得られる。
• 最終的なISS推定（46）は、状態エネルギーが初期履歴および摂動ノルムの減衰指数関数によって有界に抑えられることを示しており、記憶が薄れる型のロバスト性が確認される。