[論文レビュー] Finitely presented groups associated with expanding maps

Volodymyr Nekrashevych|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、コンパクトでパス接続された距離空間上の局所的に拡張する自己被覆写像 $f:\mathcal{M}\to\mathcal{M}$ に対して、常に有限生成表示を持つ群 $\mathcal{V}_f$ を定義する。この群は、根付き木の前像の境界上でのパスの持ち上げの作用から構成され、位相的同相の意味で完全な位相不変量である： $\mathcal{V}_{f_1} \cong \mathcal{V}_{f_2}$ であるための必要十分条件は、$f_1$ と $f_2$ が位相的に同相であることである。交換子部分群は単純であり、アーベル化には動的解釈が存在する。

ABSTRACT

We associate with every locally expanding self-covering $f:M o M$ of a compact path connected metric space a finitely presented group $V_f$. We prove that this group is a complete invariant of the dynamical system: two groups $V_{f_1}$ and $V_{f_2}$ are isomorphic as abstract groups if and only if the corresponding dynamical systems are topologically conjugate. We also show that the commutator subgroup of $V_f$ is simple, and give a topological interpretation of $V_f/V_f'$.

研究の動機と目的

• コンパクトでパス接続された距離空間上の局所的に拡張する自己被覆写像に対して、有限生成表示を持つ群不変量を確立すること。
• この群 $\mathcal{V}_f$ が動的系の完全不変量であることを示すこと：群の同型が成立するための必要十分条件は、写像の位相的同相性であること。
• 群 $\mathcal{V}_f$ の交換子部分群が単純であることの証明と、アーベル化 $\mathcal{V}_f / \mathcal{V}_f'$ の位相的解釈を与えること。

提案手法

• 写像 $f$ の繰り返しによる $f$-引き戻しによる基点 $t \in \mathcal{M}$ の前像の根付き木 $T_t$ を構成する。
• パスの持ち上げによって誘導される、境界 $\partial T_t$ 上の同相写像 $S_\gamma$ を定義し、これらは部分木上で局所的に同型写像として作用する。
• $\mathcal{V}_f$ を、すべての $S_\gamma$ の局所的等価な同相写像からなる群として定義する。
• $\mathcal{V}_f$ が Higman-Thompson 群と反復モノドロミー群 $\mathrm{IMG}(f)$ によって生成されることを示し、$\mathrm{IMG}(f)$ は $f$ のモノドロミー情報を捉えている。
• 群oids 的双対性と双曲的性質を用いて、群 $\mathcal{V}_f$ を $f$ の力学的性質（特に芽と自然拡張）に関連付ける。
• Cantor 集上での群作用に関する M. Rubin の定理を応用し、$\mathcal{V}_f$ から動的系を再構成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトでパス接続された距離空間上の局所的に拡張する自己被覆写像に対して、常に自然に関連する有限生成表示を持つ群を定義できるか？
• RQ2 群 $\mathcal{V}_f$ は、群の同型が写像の位相的同相性を意味するという意味で、動的系の完全不変量であるか？
• RQ3 交換子部分群 $\mathcal{V}_f'$ の構造は何か？ また、単純性などの特別な性質を有するか？
• RQ4 アーベル化 $\mathcal{V}_f / \mathcal{V}_f'$ は、写像 $f$ の力学にどのように関係するか？
• RQ5 元の動的系は、群 $\mathcal{V}_f$ のみから再構成可能か？

主な発見

• 任意のコンパクトでパス接続された距離空間上の局所的に拡張する自己被覆写像 $f:\mathcal{M}\to\mathcal{M}$ に対して、群 $\mathcal{V}_f$ は有限生成表示を持つ。
• 群 $\mathcal{V}_f$ は完全不変量である：抽象群としての同型 $\mathcal{V}_{f_1} \cong \mathcal{V}_{f_2}$ が成り立つための必要十分条件は、$f_1$ と $f_2$ が位相的に同相であることである。
• 交換子部分群 $\mathcal{V}_f'$ は単純である。これは、自己同相似群およびその関連群に関する一般的事実を用いて証明された。
• アーベル化 $\mathcal{V}_f / \mathcal{V}_f'$ は、$f$ に関連する極限ソリノイドの基本群、あるいは等価に極限空間の第一ホモロジー群として位相的に解釈可能である。
• $\mathcal{V}_f$ は $\mathcal{V}_{\mathrm{IMG}(f)}$ と同型であるため、$f$ の反復モノドロミー群によって完全に決定されるが、追加の自己同相似構造を仮定する必要はない。
• 動的系 $f$ は、芽の群oids および $\partial T_t$ 上の $\mathcal{V}_f$ の作用を用いて $\mathcal{V}_f$ から再構成可能であり、完全な分類が確立される。