[論文レビュー] Finitely ramified iterated extensions

Wayne Aitken, Farshid Hajir+1 more|ArXiv.org|Aug 12, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、有限分岐な反復拡大が、post-critically finite 多項式からの反復モノドロミー群の特殊化によって得られることを確立している。このような拡大は特殊化のもとでも常に有限分岐であり、有理型関数上の算術的力学を用いて分岐が制限されたガロア群を研究する新しい手法を提供する。

ABSTRACT

Let K be a number field, t a parameter, F=K(t) and f in K[x] a polynomial of degree d. The polynomial P_n(x,t)= f^n(x) - t in F[x] where f^n is the n-fold iterate of f, is absolutely irreducible over F; we compute a recursion for its discriminant. Let L=L(f) be the field obtained by adjoining to F all roots, in a fixed algebraic closure, of P_n for all n; its Galois group Gal(L/F) is the iterated monodromy group of f. The iterated extension L/F is finitely ramified if and only if f is post-critically finite (pcf). We show that, moreover, for pcf polynomials f, every specialization of L/F at t=t_0 in K is finitely ramified over K, pointing to the possibility of studying Galois groups with restricted ramification via tree representations associated to iterated monodromy groups of pcf polynomials. We discuss the wildness of ramification in some of these representations, describe prime decomposition in terms of certain finite graphs, and also give some examples of monogene number fields.

研究の動機と目的

• 分岐が制限された数体のガロア群を、有理型関数上の算術的力学を用いて探求すること。
• post-critically finite 多項式の反復モノドロミー群が特殊化によって有限分岐な拡大をもたらすかどうかを調査すること。
• このような構成が、無限大で、正則的かつ有限分岐な数体拡大を生成できるかどうかを同定すること。
• 有限グラフを用いて、これらの表現における分岐の性質と素因数分解を分析すること。
• このような拡大が単生成数体をもたらすかどうかを検討し、判別式の漸近的挙動を調べること。

提案手法

• 数体 $K$ 上の次数 $d$ の多項式 $\varphi$ を用いて、$F = K(t)$ 上の反復多項式 $\Phi_n(x,t) = \varphi^{\circ n}(x) - t$ を定義する。
• すべての $\Phi_n(x,t)$ の分解体の合成体のガロア群として、反復モノドロミー群 $\text{Gal}(\mathscr{F}_\varphi/F)$ を構成する。
• $\Phi_n(x,t)$ の $F$ 上での判別式を再帰的公式により計算し、分岐を制御可能にする。
• $t$ を $K$ 内の $t_0$ に特殊化して数体拡大 $K_{n,t_0}$ を得られ、その分岐性を検討する。
• 動的系 $\mathbb{P}^1$ 上の有限グラフを用いて、分岐と素因数分解をモデル化する。
• $\Phi_n(x,t_0)$ の根判別式を分析し、漸近的挙動および漸近的良さの可能性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 post-critically finite 多項式の反復モノドロミー群の特殊化によって、有限分岐な反復拡大が数体で構成可能か。
• RQ2 このような力学系を用いて、無限大で正則的かつ有限分岐な数体拡大を構成可能か。
• RQ3 多項式 $\varphi$ が post-critically finite であるとき、特殊化 $t \mapsto t_0 \in K$ による拡大 $K_{n,t_0}$ が、ある固定された有限集合 $S$ の外では分岐しないか。
• RQ4 $n \to \infty$ のとき、$\Phi_n(x,t_0)$ の根判別式はどのように振る舞うか。特に、$\deg \varphi$ を割る素数 $p$ について、$\varphi$ が $p$ で良い還元を持つ場合。
• RQ5 このような構成が単生成数体をもたらすか。また、根を生成する整域における整数環の指数はいかなるか。

主な発見

• 反復拡大 $\mathscr{F}_\varphi/F$ が有限分岐であることは、多項式 $\varphi$ が post-critically finite であることと同値である。
• post-critically finite な $\varphi$ に対して、任意の特殊化 $t \mapsto t_0 \in K$ は、有限分岐な拡大 $K_{n,t_0}/K$ をもたらす。
• $\Phi_n(x,t)$ の $F$ 上での判別式は再帰的計算が可能であり、分岐を明示的に制御可能である。
• $\varphi$ が post-critically finite で、$p$ で割り切れる次数を持ち、$p$ で良い還元を持つとき、$\Phi_n(x,t_0)$ の $p$-部の根判別式は $n$ と共に無限大に発散する。
• この構成により、$\Phi_n(x,t_0)$ の特殊化から単生成数体の例が得られる。
• $\varphi$ が $p$ で良い還元を持ち、$p \mid \deg \varphi$ であるとき、$\Phi_n(x,t_0)$ の根判別式は漸近的に悪くなる。これは、このような拡大が根判別式が有界である意味で漸近的に良くないことを示唆する。