[論文レビュー] Finiteness and liftability of postcritically finite quadratic morphisms in arbitrary characteristic

Richard Pink|arXiv (Cornell University)|May 13, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、特性 ≠ 2 の代数的に閉じた体に対して、任意の ℙ¹ 上の二次写像で、有限なpostcritical軌道をもつものについて、その同型類は有限個に限られることを確立する。さらに、正の特性における任意のこのような写像が、同じ組合せ的構造を保ったまま特性 0 に持ち上げられることを示し、その結果、特性 0 におけるそれらと同一のprofinite幾何的モノドロミー群を有することが示され、これは根付き2分木上の自己同様群として明示的に記述可能である。

ABSTRACT

We show that for any integer n and any field k of characteristic different from 2 there are at most finitely many isomorphism classes of quadratic morphisms from the projective line over k to itself with a finite postcritical orbit of size n. As a consequence we prove that every postcritically finite quadratic morphism over a field of positive characteristic can be lifted to characteristic zero with the same combinatorial type of postcritical orbit. The associated profinite geometric monodromy group is therefore the same as in characteristic zero, where it can be described explicitly by generators as a self-similar group acting on a regular rooted binary tree.

研究の動機と目的

• 任意の特性 ≠ 2 の代数的に閉じた体に対して、ℙ¹ 上の二次写像で、サイズ n の有限 postcritical 軌道をもつものについて、その同型類の有限性を確立すること。
• 正の特性における任意の postcritically finite な二次写像が、postcritical 軌道の組合せ的型を保ったまま特性 0 に持ち上げられることを証明すること。
• 正の特性におけるこのような写像のprofinite幾何的モノドロミー群が、特性 0 におけるそれと一致することを示し、その結果、根付き2分木上の自己同様群作用による生成子を用いた明示的記述が可能になること。
• 動的システムの手法に依存せずに、モジュライ空間、安定なマーク付き曲線、退化技術を用いた純代数的幾何的証明により、有限性を示すこと。

提案手法

• 特徴 ≠ 2 の体上の Γ-マーク付き二次写像の剛体化モジュライ空間 $ M_{\text{\Gamma}} $ を $ \text{Spec } \mathbb{Z}[1/2] $ 上に構成し、組合せ的に同値な postcritical 軌道を持つ同型類をパラメトライズする。
• 可換代数における局所平坦性基準を用いて、$ M_{\Gamma} $ が $ \text{Spec } \mathbb{Z}[1/2] $ 上で平坦であることを示し、その結果、正の特性から特性 0 への写像の持ち上げが保証されることを導く。
• コンパクト化された基底曲線 $ \bar{D} $ 上の安定マーク付き曲線を用いて、二次写像の族の退化を分析し、退化ファイバーの組合せ的データ（安定マーク付き木）を用いる。
• 安定マーク付き曲線上の二次写像に、対応拡張を適用し、有理曲線の双対グラフ上の作用とマーク付き点の分布を分析する。
• 家族の全空間上の特異点の局所多重度不変量を用いて、特定のタイプの悪化還元を除外し、安定マーク付き木上の組合せ的制約と組み合わせる。
• 変数 t, α, β に関する再帰的多項式系を用いて、方程式 $ f^k(0) = -f^\ell(0) $ を分析し、特性 ≠ 2 において、次数と先行係数の分析により有限個の解を持つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の代数的に閉じた体 k と整数 n に対して、ℙ¹_k → ℙ¹_k である二次写像で、サイズ n の有限 postcritical 軌道をもつ同型類は、有限個に限られるか？
• RQ2 正の特性の体上に定義された任意の postcritically finite な二次写像は、postcritical 軌道の組合せ的構造を保ったまま特性 0 に持ち上げられるか？
• RQ3 正の特性における postcritically finite な二次写像のprofinite幾何的モノドロミー群は、特性 0 におけるそれと一致するか？
• RQ4 正の特性における安定マーク付き曲線上での二次写像の退化から生じる組合せ的制約は何か？また、それらは特定の還元型の除外に用いることができるか？

主な発見

• 任意の整数 $ n $ および特性 ≠ 2 の代数的に閉じた体 $ k $ に対して、$ \mathbb{P}^1_k \to \mathbb{P}^1_k $ である二次写像で、サイズ $ n $ の有限 postcritical 軌道をもつ同型類は、高々有限個存在する。
• 正の特性の体上に定義された任意の postcritically finite な二次写像は、postcritical 軌道の組合せ的型を保ったまま特性 0 に持ち上げられる。
• 正の特性におけるこのような写像のprofinite幾何的モノドロミー群は、$ \mathbb{C} $ 上の対応する写像のそれと同型であり、したがって、正規根付き2分木上の自己同様群として、明示的な生成子を用いて記述可能である。
• $ \Gamma $-マーク付き二次写像のモジュライ空間 $ M_{\Gamma} $ は、$ \text{Spec } \mathbb{Z}[1/2] $ 上で平坦である。この性質により、このような持ち上げの存在が保証される。
• 特性 ≠ 2 の任意の体上で、方程式 $ f^k(0) = -f^\ell(0) $ は、再帰的に定義された多項式 $ g_n $ と $ h_n $ の先行係数の分析により、有限個の解しか持たない。
• 安定マーク付き木上の組合せ的制約と、特異ファイバーの局所多重度不変量を組み合わせることで、特定のタイプの悪化還元が除外される。