[論文レビュー] Finiteness results for hyperkaehler manifolds

Daniel Huybrechts|ArXiv.org|Sep 4, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、コンpactなハイパーケーラー多様体の微分同相型が、その整数係数第二コホモロジーと、第一ポントリャギン類によって定まる次数2n−2の同次多項式によって、有限の不定要因を除いて決定されることを確立する。Kollár–Matsusaka や Hitchin–Sawon の結果、および周期写像の全射性を用いて、固定されたコホモロジー的データ（ベーリル＝ボゴモロフ形式またはその非正規化版を含む）のもとで、固定された多様体上の非退化ホロモルフィックシンプレクティック構造の変形型の有限性を証明する。

ABSTRACT

In this short note we prove that the number of deformation types of compact hyperkaehler manifolds with prescribed second cohomology and second Chern class is finite. The proof uses the finiteness result of Kollar and Matsusaka, a formula by Hitchin and Sawon and the surjectivity of the period map.

研究の動機と目的

• 固定されたコホモロジー的データのもとで、コンパクトなハイパーケーラー多様体の有限性を確立すること。
• コンパクトなハイパーケーラー多様体の微分同相型が、その整数係数第二コホモロジーと、第一ポントリャギン類によって定まる次数2n−2の多項式によって、有限の不定要因を除いて決定されることを示すこと。
• 固定された滑らかな多様体に対して、非退化ホロモルフィックシンプレクティック構造の変形型が有限個しか存在しないことの証明。
• 非正規化されたベーリル＝ボゴモロフ形式、またはコホモロジーにおける固定されたノルムのクラスを固定したとき、変形型の有限性が保たれることの証明。
• ラティスと周期データを用いた、ハイパーケーラー多様体のモジュライと変形型を理解するためのコホモロジー的枠組みの提供。

提案手法

• 交差数が有界な極小多様体に関する Kollár と Matsusaka の有限性結果を活用する。
• Hitchin–Sawon の公式を用いて、最高次元のコホモロジー類をベーリル＝ボゴモロフ二次形式に関連付ける。
• 非退化ホロモルフィックシンプレクティック多様体における周期写像の全射性を応用して、変形型を制御する。
• Fujiki の公式を用いて、Todd類の平方根の積分をベーリル＝ボゴモロフ形式に関連付ける。
• Nieper の結果を用い、コホモロジー類の指数関数との積分が、二次形式の正の倍数によって支配されることを示す。
• 有限性の問題において、原始的形 $q_X$ よりも自然な不変量として、非正規化されたベーリル＝ボゴモロフ形式 $\tilde{q}_X$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなハイパーケーラー多様体の微分同相型は、その整数コホモロジーとポントリャギン類によって、有限の不定要因を除いて決定可能か？
• RQ2 固定されたコンパクト多様体上に存在しうる非退化ホロモルフィックシンプレクティック構造の変形型は、いくつまで存在しうるか？
• RQ3 非正規化されたベーリル＝ボゴモロフ形式、または固定されたノルムのクラスを固定した場合、変形型の有限性は保たれるか？
• RQ4 周期写像の全射性と、コホモロジー的制約を組み合わせることで、変形型の有限性が導かれるか？
• RQ5 有限性定理において、原始的形 $q_X$ を非正規化形 $\tilde{q}_X$ に置き換えても、一般性を失わず成立するか？

主な発見

• 固定されたコンパクト多様体 $M$ に対して、$M$ 上の非退化ホロモルフィックシンプレクティック複素構造の変形型は、高々有限個である。
• 次元 $4n$ のコンパクトなハイパーケーラー多様体の微分同相型は、$H^2(M,\mathbb{Z})$ と $p_1(M)$ によって定まる次数$2n-2$の多項式によって、有限の不定要因を除いて決定される。
• 固定されたラティスに対して、非正規化されたベーリル＝ボゴモロフ形式 $\tilde{q}_X$ を固定したとき、有限性が成立する。
• 任意の固定された正の整数 $k$ に対して、$ \tilde{q}_X(\alpha) = k$ を満たすクラス $\alpha \in H^2(X,\mathbb{Z})$ を持つような、非退化ホロモルフィックシンプレクティック多様体の変形型は、高々有限個である。
• Fujiki の公式 $c \cdot q_X(\alpha) = \int_X \sqrt{\mathrm{td}(X)} \alpha^2$ の定数 $c$ は、$\left(\int_X \sqrt{\mathrm{td}(X)}\right)^{-1}$ の正の有理数倍であることが保証され、二次形式の正定性が保証される。
• 非正規化形 $\tilde{q}_X$ は原始的形 $q_X$ の正の整数倍であり、$q_X$ を $\tilde{q}_X$ に置き換えることで、モジュライ問題におけるより弱いが同等の有限性記述が得られる。