[論文レビュー] Finitistic Auslander algebras

René Marczinzik|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、支配的次元がフィニティスティック次元と等しく、かつ両者が2以上である有限次元代数である「フィニティスティック・オースラーダ代数」を導入する。これはオースラーダ・ゴレンシュタイン代数および高次オースラーダ代数を一般化するものである。主な貢献は、支配的次元をもつ加群におけるホモロジー的条件を用いた同型条件の特徴付けであり、これにより高次オースラーダ対応の短い証明が得られ、ホープ代数および自己同型代数に関する新たな結果が得られる。

ABSTRACT

Recently, Chen and Koenig in \cite{CheKoe} and Iyama and Solberg in \cite{IyaSol} independently introduced and characterised algebras with dominant dimension coinciding with the Gorenstein dimension and both dimensions being larger than or equal to two. In \cite{IyaSol}, such algebras are named Auslander-Gorenstein algebras. Auslander-Gorenstein algebras generalise the well known class of higher Auslander algebras, where the dominant dimension additionally coincides with the global dimension. In this article we generalise Auslander-Gorenstein algebras further to algebras having the property that the dominant dimension coincides with the finitistic dimension and both dimension are at least two. We call such algebras finitistic Auslander algebras. As an application we can specialise to reobtain known results about Auslander-Gorenstein algebras and higher Auslander algebras such as the higher Auslander correspondence with a very short proof. We then give several conjectures and classes of examples for finitistic Auslander algebras. For a local Hopf algebra $A$ and an indecomposable non-projective $A$-module $M$, we show that $End_A(A \oplus M)$ is always a finitistic Auslander algebra of dominant dimension two. In particular this shows that $Ext_A^1(M,M)$ is always non-zero, which generalises a result of Tachikawa who proved that $Ext_A^1(M,M) eq 0$ for indecomposable non-projective modules $M$ over group algebras of $p$-groups. We furthermore conjecture that every algebra of dominant dimension at least two which has exactly one projective non-injective indecomposable module is a finitistic Auslander algebra. We prove this conjecture for a large class of algebras which includes all representation-finite algebras.

研究の動機と目的

• 支配的次元がフィニティスティック次元と等しく、かつ両者が2以上であるフィニティスティック・オースラーダ代数を導入することで、オースラーダ・ゴレンシュタイン代数および高次オースラーダ代数を一般化すること。
• 特定の支配的次元またはゴレンシュタイン射影的次元をもつ加群の部分カテゴリを用いて、これらの代数のホモロジー的特徴付けを提供すること。
• 局所ホープ代数および非射影な不可約加群 $M$ に対して、$ \mathrm{End}_A(A \oplus M)$ の形をした自己同型代数が支配的次元2のフィニティスティック・オースラーダ代数であることを証明すること。
• 支配的次元が2以上で、非射影な射影的加群がちょうど一つであるような任意の代数がフィニティスティック・オースラーダ代数の条件を満たすという予想の特殊ケースを提示し、証明すること。
• 支配的次元がフィニティスティック次元と等しく、かつその共通値が1である場合にまで拡張された「弱フィニティスティック・オースラーダ代数」の理論を展開すること。

提案手法

• フィニティスティック・オースラーダ代数を、支配的次元がフィニティスティック次元と等しく、かつ両者が2以上である有限次元代数として定義する。
• 以下の4つの同値条件を用いて、このような代数を特徴付ける：$Dom_d(A)$ が $Proj(A) \cup Proj_\infty(A)$ に含まれること、$Gp(A) \cup Gp_\infty(A)$ に含まれること、および $M^{\perp d-2} \setminus add(M)$ に属する加群に対する無限大の $add(M)$-分解次元の性質。
• 生成子・余生成子の理論および相対ホモロジー次元の理論を用いて、クラスター傾きおよびプレクラスター傾き対象を一般化する。
• 特徴付けを応用して、既知の結果（例：高次オースラーダ対応、オースラーダ・ゴレンシュタイン代数上のゴレンシュタイン射影的加群の分類）を再発見する。
• 局所ホープ代数および非射影な不変加群 $M$ に対して、$ \mathrm{End}_A(A \oplus M)$ が支配的次元2のフィニティスティック・オースラーダ代数であることを証明する。
• 表現論およびゴレンシュタインホモロジー代数を用いて、例（例：ナカヤマ代数、ゲンドー対称バイシリアル代数）を分析し、支配的次元の閾値に関する予想を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数の支配的次元がそのフィニティスティック次元と等しくなるのはいつか？ そしてこの等式から生じる構造的性質は何か？
• RQ2 フィニティスティック・オースラーダ代数の新フレームワークを用いて、高次オースラーダ対応を短い証明で再現できるか？
• RQ3 任意の局所ホープ代数 $A$ および非射影な不変加群 $M$ に対して、$ \mathrm{End}_A(A \oplus M)$ はフィニティスティック・オースラーダ代数か？
• RQ4 支配的次元が2以上で、非射影な射影的加群がちょうど一つである任意の代数は、フィニティスティック・オースラーダ代数の条件を満たすか？
• RQ5 支配的次元を $f(n)$ という多項式で抑えれば、$n$ 個の単純加群をもつ非自己同型代数は常にフィニティスティック・オースラーダ代数となるか？

主な発見

• フィニティスティック・オースラーダ代数は、有限射影的次元またはゴレンシュタイン射影的次元をもつ加群の部分カテゴリを用いた4つの同値条件によって特徴付けられる。
• 任意の局所ホープ代数 $A$ および非射影な不変加群 $M$ に対して、自己同型代数 $ \mathrm{End}_A(A \oplus M)$ は支配的次元2のフィニティスティック・オースラーダ代数である。
• この結果は $ \mathrm{Ext}^1_A(M,M) \neq 0$ を含意し、$p$-群代数に関するタチカワの定理を一般化する。
• 局所自己同型代数 $A$ に対して、$B = \mathrm{End}_A(A \oplus S)$ は支配的次元2の標準的層状フィニティスティック・オースラーダ代数である。
• 代数 $B$ がオースラーダ・ゴレンシュタイン代数であるための必要十分条件は、$A \cong K[x]/(x^n)$ かつ $n \geq 2$ であることであり、高次オースラーダ代数であるための必要十分条件は、$A \cong K[x]/(x^2)$ であることである。
• 任意の表現有限なNASG代数は弱フィニティスティック・オースラーダ代数であり、このような代数に対してはフィニティスティック次元予想が成り立つ。