[論文レビュー] Gendo-symmetric algebras, dominant dimensions and Gorenstein homological algebra

René Marczinzik|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、有限次元代数が有限個の非分解的半ゴレンシュタイン・プロジェクティブな n 次シンジーギー・モジュールを持つとき、それが左弱ゴレンシュタイン的であることを確立している。これは、リングルとチャンの結果（n=1 の場合）を任意の n ≥ 1 に一般化したものである。さらに、gendosymmetric代数において、ドミナント次元とゴレンシュタインホモロジー代数の間に新たな関係を確立し、非射影なゴレンシュタイン・プロジェクティブ・インジェクティブ・モジュールの存在が表現型無限大を意味することを証明している。また、リウ＝シュルツ代数のような量子外的代数を用いて、非弱ゴレンシュタイン代数の体系的で初の族を構成した。

ABSTRACT

We prove that a finite dimensional algebra $A$ with representation-finite subcategory consisting of modules that are semi-Gorenstein-projective and $n$-th syzygy modules is left weakly Gorenstein. This generalises a theorem of Ringel and Zhang who proved the result in the case $n=1$. As an application we show that monomial algebras and endomorphism rings of modules over representation-finite algebras are weakly Gorenstein. We then give a new connection between the theory of dominant dimension and Gorenstein homological algebra for gendo-symmetric algebras. As an application, we will see that the existence of a non-projective Gorenstein-projective-injective module in a gendo-symmetric algebra already implies that this algebra is not CM-finite. We apply out methods to give a first systematic construction of non-weakly Gorenstein algebras using the theory of gendo-symmetric algebras. In particular, we can construct non-weakly Gorenstein algebras with an arbitrary number of simple modules from certain quantum exterior algebras such as the Liu-Schulz algebra.

研究の動機と目的

• n=1 から任意の n ≥ 1 へのリングルとチャンの弱ゴレンシュタイン代数に関する結果の一般化。
• gendosymmetric代数において、ドミナント次元とゴレンシュタインホモロジー代数の間の新たな関係の確立。
• gendosymmetric代数において非射影なゴレンシュタイン・プロジェクティブ・インジェクティブ・モジュールが存在する場合、それがCM無限大を意味することの証明。
• gendosymmetric代数と量子外的代数を用いた非弱ゴレンシュタイン代数の体系的構成。
• 量子完全交差代数における l 特殊モジュールと Ext の消滅に関する未解決問題への対処。

提案手法

• 半ゴレンシュタイン・プロジェクティブな n 次シンジーギー・モジュールの部分カテゴリ φₙ = ⁻¹A ∩ Ωⁿ(mod-A) を導入。
• φₙ が同型を除いて有限個であるならば、その代数は左弱ゴレンシュタイン的であることを証明。
• gendosymmetric代数では、τ(M) ≅ Ω²(M) となることと、M が少なくとも2次のコドミナント次元を持つことは同値であるという特徴づけを用いる。
• ミュラーの定理を適用し、単純モジュール Mᵢ に対して Ext¹(Mᵢ, Mᵢ) ≠ 0 ならばドミナント次元2が成立することを示す。
• 量子完全交差代数上のモジュールの自己準同型環を用いて非弱ゴレンシュタイン代数を構成。
• Ext の消滅条件とモジュールのパラメータ（例：r が単位根でない）を用い、1次に非ゼロの Ext と、2次以上の次数でゼロとなる Ext を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限個の非分解的半ゴレンシュタイン・プロジェクティブ n 次シンジーギー・モジュールを持つ代数が左弱ゴレンシュタイン的であるための条件は何か？
• RQ2 gendosymmetric代数において、ドミナント次元とゴレンシュタイン・プロジェクティブ・インジェクティブ・モジュールの正確な関係は何か？
• RQ3 gendosymmetric代数に非射影なゴレンシュタイン・プロジェクティブ・インジェクティブ・モジュールが1つ存在する場合、それが代数のCM無限大を強制するか？
• RQ4 量子完全交差代数から非弱ゴレンシュタイン代数を体系的に構成できるか？
• RQ5 任意の体上の対称代数において l 特殊モジュールは存在するか？また、それらを用いて非弱ゴレンシュタイン代数を構成できるか？

主な発見

• 有限個の非分解的半ゴレンシュタイン・プロジェクティブ n 次シンジーギー・モジュールしか持たない代数は、すべて左弱ゴレンシュタイン的であり、これはリングルとチャンの n=1 の結果を一般化する。
• 単項式代数および表現有限代数上のモジュールの自己準同型環は弱ゴレンシュタイン的である。
• gendosymmetric代数において、A-モジュール M がゴレンシュタイン・プロジェクティブ・インジェクティブであることと、それが無限大のドミナント次元と無限大のコドミナント次元を持つことは同値である。
• gendosymmetric代数に非射影なゴレンシュタイン・プロジェクティブ・インジェクティブ・モジュールが存在するならば、その代数はCM有限でない。
• リウ＝シュルツ代数や他の量子外的代数を用いて、任意の個数の単純モジュールを持つ非弱ゴレンシュタイン代数を構成可能である。
• 量子完全交差代数において、Ext¹(M,M)≠0 かつ i≥2 で Extⁱ(M,M)=0 となるモジュールが存在する場合、r が単位根でない限り非弱ゴレンシュタイン代数が存在する。