[論文レビュー] Finsler-based field theory -- a mathematical foundation

Manuel Hohmann, Christian Pfeifer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2021

Advanced Differential Geometry Research参考文献 60被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、接空間方向に同次的依存性を示す場を対象として、Finsler時空上の作用に基づく場理論の座標に依存しない変分的枠組みを確立する。一般共変性が自然なFinslerラグランジアンにおいて、エネルギー運動量の平均化保存則が導かれることを証明しており、これはローレンツ時空においては通常の点ごとの保存則に還元される。

ABSTRACT

The paper introduces a general mathematical framework for action based field theories on Finsler spacetimes. As most often fields on Finsler spacetime (e.g., the Finsler fundamental function or the resulting metric tensor) have a homogeneous dependence on the tangent directions of spacetime, we construct the appropriate configuration bundles whose sections are such homogeneous fields; on these configuration bundles, the tools of coordinate free calculus of variations can be consistently applied to obtain field equations. Moreover, we prove that general covariance of natural Finsler field Lagrangians leads to an averaged energy-momentum conservation law which, in the particular case of Lorentzian spacetimes, is equivalent to the usual, pointwise energy-momentum covariant conservation law.

研究の動機と目的

• Finsler時空上の作用に基づく場理論の整合的な数学的枠組みを構築すること。
• 接空間方向における同次的場の挑戦に応えるために、適切な構成バンドルを構築すること。
• Finsler幾何学における場の方程式を導出するために、座標に依存しない変分法の道具を適用すること。
• 一般共変性がFinsler時空におけるエネルギー運動量保存則に与える影響を調査すること。
• Finsler時空におけるエネルギー運動量の平均化保存則が、ローレンツ的状況では標準的な点ごとの保存則に還元されることを示すこと。

提案手法

• Finsler時空上での同次的場を表すセクションを備えた構成バンドルを構築する。
• 座標に依存しない変分法の道具を用いて場の方程式を導出する。
• Finsler基本関数および計量テンソルの接空間方向における同次性を構造的制約として用いる。
• Finsler場ラグランジアンに一般共変性を課して保存則を導出する。
• 変分構造からエネルギー運動量の平均化保存則を導出する。
• 平均化された保存則をローレンツ時空における標準的な点ごとの保存則と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Finsler時空上で同次的場を有する場理論に対して、整合的な変分的枠組みをどのように構築できるか。
• RQ2 Finsler幾何学における接空間方向の同次的場を扱う際、構成バンドルが果たす役割は何か。
• RQ3 Finslerラグランジアンにおける一般共変性がエネルギー運動量保存に与える影響は何か。
• RQ4 Finsler場理論から導かれるエネルギー運動量保存則の性質は何か。
• RQ5 エネルギー運動量の平均化保存則が、どのような条件下でローレンツ時空において標準的な点ごとの保存則に還元されるか。

主な発見

• Finsler時空上の同次的場を有する場理論に対して、座標に依存しない変分的枠組みが成功裏に構築された。
• 構成バンドルのおかげで、同次的場への変分法の一貫した適用が可能になった。
• 自然なFinslerラグランジアンにおける一般共変性は、エネルギー運動量の平均化保存則を導く。
• この平均化保存則は、一般相対性理論における標準的な点ごとのエネルギー運動量保存則を一般化する。
• ローレンツ時空の場合は、平均化された保存則が標準的な点ごとの保存則に還元される。
• この枠組みは、リーマン幾何学を超えた相対論的場理論を拡張するための幾何的基盤を提供する。