[論文レビュー] Generalized Finsler Geometry in Einstein, String and Metric--Affine Gravity

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Oct 14, 2003

Advanced Differential Geometry Research参考文献 16被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、メトリック・アフィン重力（MAG）における一般化されたフィンスler・アフィン幾何学の枠組みを構築し、非可換フレームと非線形（N-）接続を用いて局所的に異方的な時空をモデル化する。Einstein理論、ストリング理論、MAG理論においてフィンスラータイプの幾何学がどのように誘導されるかの基準を確立し、一般化された非対角的計量がN-接続構成によって本質的にこのような構造を生成することを示す。これにより、11種類の空間タイプの明示的分類を伴い、多様な非リーマン的幾何学が一つの形式的枠組みに統合される。

ABSTRACT

We develop the method of anholonomic frames with associated nonlinear connection (in brief, N--connection) structure and show explicitly how geometries with local anisotropy (various type of Finsler--Lagrange--Cartan--Hamilton geometry) can be modeled in the metric--affine spaces. There are formulated the criteria when such generalized Finsler metrics are effectively induced in the Einstein, teleparallel, Riemann--Cartan and metric--affine gravity. We argue that every generic off--diagonal metric (which can not be diagonalized by coordinate transforms) is related to specific N--connection configurations. We elaborate the concept of generalized Finsler--affine geometry for spaces provided with arbitrary N--connection, metric and linear connection structures and characterized by gravitational field strengths, i. e. by nontrivial N--connection curvature, Riemannian curvature, torsion and nonmetricity. We apply a irreducible decomposition techniques (in our case with additional N--connection splitting) and study the dynamics of metric--affine gravity fields generating Finsler like configurations. The classification of basic eleven classes of metric--affine spaces with generic local anisotropy is presented.

研究の動機と目的

• メトリック・アフィン重力（MAG）に適用可能な、局所的に異方的な幾何学—フィンスル、ラグランジュ、ハミルトン、カルタン—を統一する一つの枠組みを構築すること。
• Einstein理論、ストリング理論、MAG理論において、一般化された非対角的計量からフィンスラータイプの構造がどのように発生するかの基準を確立すること。
• N-接続とd-接続構造を用いて、一般化された局所的異方性を示す11種類の計量アフィン空間のクラスに分類すること。
• 非計量性、ねじれ、曲率を統一的に扱う幾何学的枠組みを拡張し、重力モデルにおける統一的扱いを可能にすること。
• 一般化された非対角的計量と非可換制約を伴う重力理論における正確解を体系的に構成するための方法を提供すること。

提案手法

• 非可換フレームと関連する非線形（N-）接続構造を用い、計量アフィン空間を特徴的な（d-）成分に分解する。
• d-接続形式（d-接続 = N-接続の分割に適応された線形接続）を適用し、d-計量、d-ねじれ、d-曲率を定義する。
• N-接続の分割を用いた不変分解技術を用い、重力場の強度（曲率、ねじれ、非計量性）を分析する。
• 非自明なねじれと非計量性を有する計量アフィン幾何学と、N-接続と異方的計量を有するフィンスラータイプの構造を統合した、一般化されたフィンスル・アフィン幾何学を導入する。
• N-接続とd-計量構造に適合した抽象的および座標ベースの計算を用い、d-ねじれとd-曲率の明示的公式を導出する。
• N-接続、d-計量、接続の種類に基づき、11種類の一般化されたフィンスル・アフィン空間（例：一般化ラグランジュ・アフィン、ハミルトン・アフィン、トランスレーション接続、リーマン＝カルタン）を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Einstein理論、ストリング理論、計量アフィン重力理論において、フィンスラータイプの幾何学がどのように効果的に誘導されるかの条件は何か。
• RQ2 座標変換では対角化できない一般化された非対角的計量が、N-接続構成と局所的異方性とどのように関係するか。
• RQ3 非線形（N-）接続が、計量アフィン重力内での多様な非リーマン的幾何学（フィンスル、ラグランジュ、ハミルトン、カルタン）を統一する役割を果たす仕組みは何か。
• RQ4 d-接続、d-計量、非計量性構造の観点から、一般化されたフィンスル・アフィン幾何学をどのように体系的に分類できるか。
• RQ5 一般化された非対角的計量、ねじれ、非計量性を伴う重力モデルにおいて、正確解を構築するための幾何的・力学的基準は何か。

主な発見

• 座標変換では対角化できない一般化された非対角的計量は、本質的に特定のN-接続構成と結びついており、局所的異方性を示唆する。
• N-接続を伴う非可換フレームの手法は、計量アフィン重力内でのフィンスル、ラグランジュ、ハミルトン、カルタン幾何学を統一的にモデル化する枠組みを提供する。
• 本論文は、N-接続とd-接続構造に基づき、一般化ラグランジュ・アフィン、ハミルトン・アフィン、トランスレーション接続、リーマン＝カルタンなど11種類の一般化フィンスル・アフィン空間のクラスに分類している。
• 非計量性、ねじれ、曲率が、リーマン的またはレヴィ・チビタ構造が存在しない状況においても、フィンスラータイプの構造を生成することを示している。
• 定理4.1と定理4.2は、すべての一般化フィンスル・アフィン空間におけるd-ねじれとd-曲率の計算手順を明示的に提供し、体系的な解の構成を可能にする。
• この形式的枠組みにより、一般化された非対角的計量と非可換制約を伴うストリング理論および計量アフィン重力理論において正確解が構成可能であり、2～5変数の範囲で有効であり、アインシュタイン重力理論への拡張も可能である。