[論文レビュー] Finsler Metrics with K=0 and S=0

Zhongmin Shen|ArXiv.org|Sep 10, 2001

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、α をリーマン計量、β を ‖β‖_α < 1 を満たす1形式とするランダース型計量 F = α + β を用いて、次元 ≥2 において、旗曲率 K=0 かつ S-曲率 S=0 である非射影的平坦なフィン슬러計量を構成する。主な貢献は、すべての K=0 ランダース計量が局所的にミンコフスキー的であるはずだとする以前の主張に反する、局所的にミンコフスキー的でないようなこのような計量の族を提供することであり、正の完備性がその結果に不可欠であることを示している。

ABSTRACT

In Finsler geometry, there are infinitely many models of constant curvature. The Funk metrics, the Hilbert-Klein metrics and the Bryant metrics are projectively flat with non-zero constant curvature. A recent example constructed by the author is projectively flat with zero curvature. In this paper, we introduce a technique to construct non-projectively flat Finsler metrics with zero curvature in each dimension. The technique can be used to construct many non-projectively flat Finsler metrics of constant curvature.

研究の動機と目的

• 旗曲率 K=0 であり、局所的にミンコフスキー的でも射影的平坦でもないフィン슬러計量の明示的例を構成すること。
• すべての K=0 ランダース計量が局所的にミンコフスキー的であるはずだとする以前の主張との矛盾を解消すること。
• K=0 ランダース計量が局所的にミンコフスキー的であるという分類結果において、正の完備性の仮定がなぜ不可欠であるかを示すこと。
• 回転する媒体における最短時間問題に由来する幾何的構成を提示すること。
• K=0 の下で、有界なカラタンねじれが、ミンコフスキー的構造をもたらさないことを示すこと、特にランダース計量に対しても同様であることを示すこと。

提案手法

• 本稿は、Ω ⊂ ℝⁿ における領域上で定義されたランダース計量 F = α + β を構成し、F(y) = [√((-yu + xv)² + |y|²(1 - x² - y²)) - (-yu + xv)] / (1 - x² - y²) と表される。ここで y = (u, v, y̅) ∈ TₚΩ である。
• 測地線係数 Gⁱ をスプライの係数から導出し、Gⁱ = G̃ⁱ + Hⁱ という公式を用いて明示的に計算する。ここで G̃ⁱ はリーマン計量 α の係数であり、Hⁱ は1形式 β 及びその関連テンソル sᵢⱼ に依存する。
• S-曲率はスプライ係数のヘッセ行列のトレースを用いて計算され、恒等式 ∂Gⁱ/∂yⁱ = 0 により、それが恒等的に消えることが示される。
• 旗曲率は、Riemann曲率テンソル Rⁱₖ がすべての i, k に対して Rⁱₖ = 0 を満たすことを確認することによって計算され、条件 ∂Gⁱ/∂x + ∂Gⁱ/∂y + ∂Gⁱ/∂yⁱ ∂Gʲ/∂yʲ - ∂Gⁱ/∂yʲ ∂Gʲ/∂yⁱ = 0 を用いる。
• 計量 α および β を追加の座標を含む形に拡張することで、高次元への一般化がなされ、曲率および S-曲率の条件が保たれる。
• 幾何的動機は、回転する流体中での最短時間問題であり、β は回転速度場を表し、α はユークリッド計量である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 ≥2 において、K=0 かつ S=0 である非射影的平坦なフィン슬러計量を構成することは可能か？
• RQ2 K=0 であるが局所的にミンコフスキー的でないランダース計量を構成することは可能か？ これは以前の主張に反する。
• RQ3 正の完備性は、K=0 ランダース計量の分類において果たす役割は何か？
• RQ4 K=0 の下で、有界なカラタンねじれが、非ミンコフスキー的フィン슬ャー計量と共存可能か？
• RQ5 K=0 の下で、S-曲率条件 S=0 は、ベルワルド構造または局所的にミンコフスキー的構造を示唆するか？

主な発見

• 本稿は、Ω ⊂ ℝⁿ における F = α + β のフィン슬ャー計量の族を構成し、K=0 かつ S=0 であり、局所的にミンコフスキー的でないことを示した。これは、すべての K=0 ランダース計量が局所的にミンコフスキー的であるはずだとする主張に対する反例を提供する。
• 構成された計量は射影的平坦でない。これは、射影的平坦性条件を満たさない非ゼロのスプライ係数 Gⁱ が存在することによって裏付けられる。
• S-曲率は恒等的にゼロである。これは、トレース条件 ∂Gⁱ/∂yⁱ = 0 とユークリッド計量と一致する体積形式によって示される。
• 旗曲率はゼロである。これは、Riemann曲率テンソル Rⁱₖ のすべての成分が消えること、特に R¹₁ = R¹₂ = R²₁ = R²₂ = 0 であることを確認することで検証された。
• 計量は正の完備でない。これは、領域 Ω が有界であり、測地線が無限にまで延長できないことから明らかであり、分類定理において正の完備性が不可欠であることに整合的である。
• 座標を追加することで、G³ = 0 とし、曲率および S-曲率の条件を保ったまま、高次元への一般化がなされた。