[論文レビュー] First exit-time analysis for an approximate Barndorff-Nielsen and Shephard model with stationary self-decomposable variance process

Shantanu Awasthi, Indranil SenGupta|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ブラウン運動と定常的・自己分解可能な分散過程を持つレヴィ劣調和子で駆動される近似バーナード・ニールソン・シーファード（BN-S）モデルの最初の抜出自時刻に関する解析的フレームワークを提案する。最初の抜出自時刻をブラウン運動と劣調和子の成分に分解することで、ラプラス変換および特殊関数を用いて明示的な確率密度関数を導出している。S&P 500データを用いた検証では、市場の暴落期には劣調和子のダイナミクスが支配的であるのに対し、安定した期間にはブラウン運動が支配的であることが示された。

ABSTRACT

In this paper, an approximate version of the Barndorff-Nielsen and Shephard model, driven by a Brownian motion and a L\'evy subordinator, is formulated. The first-exit time of the log-return process for this model is analyzed. It is shown that with certain probability, the first-exit time process of the log-return is decomposable into the sum of the first exit time of the Brownian motion with drift, and the first exit time of a L\'evy subordinator with drift. Subsequently, the probability density functions of the first exit time of some specific L\'evy subordinators, connected to stationary, self-decomposable variance processes, are studied. Analytical expressions of the probability density function of the first-exit time of three such L\'evy subordinators are obtained in terms of various special functions. The results are implemented to empirical S&P 500 dataset.

研究の動機と目的

• 確率的ボラティリティ枠組みにおけるリターンの最初の抜出自時刻を解析的に取り扱えるモデルの構築を目的とする。
• 近似BN-Sモデルの最初の抜出自時刻を、ブラウン運動とドリフト付きのレヴィ劣調和子の寄与に分解することを目的とする。
• 特殊関数を用いて、特定の自己分解可能なレヴィ劣調和子の最初の抜出自時刻の明示的確率密度関数を導出することを目的とする。
• 実証的S&P 500日次リターンデータを用いて理論的枠組みを検証することを目的とする。
• 拡散成分とジャンプ成分の相対的寄与を分析することで、市場の暴落ダイナミクスに関する洞察を提供することを目的とする。

提案手法

• ブラウン運動と定常的・自己分解可能な分散過程を持つレヴィ劣調和子で駆動される近似BN-Sモデルを定式化する。
• 分解性の性質を用いて、リターン過程の最初の抜出自時刻をブラウン運動と劣調和子の最初の抜出自時刻の和として表現する。
• ラプラス変換および逆ラプラス変換技術を用いて、最初の抜出自時刻の確率密度関数を導出する。
• 不完全ガンマ関数や一般化超幾何関数を含む、特殊関数に関する既知の結果を活用し、密度関数を明示的に表現する。
• 累乗関数およびガンマ関数を含む複雑な式の逆ラプラス変換を処理するために、補題4.2および補題4.1を活用する。
• モデルのパラメータを実証的S&P 500データに適合させ、数値ヒストグラムおよび確率密度プロットを通じて理論的密度関数を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似BN-Sモデルにおけるリターン過程の最初の抜出自時刻は、ブラウン運動とレヴィ劣調和子の寄与に分解可能か？
• RQ2 自己分解可能なレヴィ劣調和子の最初の抜出自時刻の確率密度関数の明示的解析的形は何か？
• RQ3 市場の安定期と変動期では、ブラウン運動成分と劣調和子成分が最初の抜出自時刻分布にどのように異なる寄与をしているか？
• RQ4 導出された解析的表現は、S&P 500インデックスなどの実際の金融データに対して効果的に適合可能で、検証可能か？
• RQ5 市場の暴落に類似する出来事では、劣調和子成分が最初の抜出自時刻分布においてどの程度支配的になるか？

主な発見

• 近似BN-Sモデルにおけるリターン過程の最初の抜出自時刻は、ドリフト付きブラウン運動とドリフト付きレヴィ劣調和子の最初の抜出自時刻の和に分解可能である。
• 不完全ガンマ関数や一般化超幾何関数を含む特殊関数を用いて、3つの特定の自己分解可能なレヴィ劣調和子の最初の抜出自時刻の明示的確率密度関数が導出された。
• S&P 500データセットにおいて、低ボラティリティ期にはブラウン運動成分が最初の抜出自時刻分布を支配するが、高ボラティリティ期または暴落的動きの時期には劣調和子成分が支配的になる。
• 実証データを用いた数値結果により、理論的分解が確認され、最初の抜出自時刻のヒストグラムがモデルの予測密度関数と一致した。
• t = 1, 2, 3, 4における確率密度関数のプロットにより、理論的予測と実証パターンの間で強い一致が確認された。
• 本研究は、特に極端な市場イベントのモデリングにおいて、劣調和子成分による長距離自己相関を組み込むことで、既存の確率的ボラティリティモデルの改善に基盤を提供する。