[論文レビュー] First-order quantum perturbation theory and Colombeau generalized functions

André Gsponer|ArXiv.org|Sep 15, 2008

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コロンベーオ一般化関数を用いて、第一順位の量子摂動理論を再定式化し、標準的な分布論では数学的に定義不能なディラックのデルタ関数の二乗を厳密に定義する。エネルギー保存則を表すデルタ関数をコロンベーオ代数内の滑らかな代表元として表現することで、遷移振幅およびその二乗（確率）が数学的にwell-definedであることを示し、フェルミの黄金律のような恣意的な規則に依存せずにラザフォード散乱断面積が得られる。

ABSTRACT

The electromagnetic scattering of a spin-0 charged particle off a fixed center is calculated in first-order quantum perturbation theory. This implies evaluating the square of a `Dirac delta-function,' an operation that is not defined in Schwartz distribution theory, and which in elementary text-books is dealt with according to `Fermi's golden rule.' In this paper these conventional calculations are carefully reviewed, and their crucial parts reformulated in a Colombeau algebra -- in which the product of distributions is mathematically well defined. The conclusions are: (1) The Dirac delta-function insuring energy conservation in first order perturbation theory belongs to a particular subset of representatives of the Schwartz distribution defined by the Dirac measure. These particular representatives have a well-defined square, and lead to a physically meaningful result in agreement with the data. (2) A truly consistent mathematical interpretation of these representatives is provided by their redefinition as Colombeau generalized functions. This implies that their square, and therefore the quantum mechanical rule leading from amplitudes to probabilities, is rigorously defined.

研究の動機と目的

• 量子力学における数学的不整合、特に遷移確率計算に現れるディラックのデルタ関数の二乗が数学的に定義不能であるという問題を解決すること。
• コロンベーオ一般化関数を用いて、分布の積を数学的に厳密に扱える第一順位の時刻依存摂動理論を再定式化すること。
• フェルミの黄金律を用いたデルタ関数の二乗の扱いが、恣意的であり、分布論的根拠を欠いていることを示すこと。
• 物理的に意味のある結果、例えばラザフォード断面積が、一貫性のある一般化関数の枠組みから導かれる可能性を示すこと。
• 平面波状態の物理的内容を保ちつつ、分布の積をwell-definedに可能にするコロンベーオ代数内の特定のモリファイアのクラスを同定すること。

提案手法

• 遷移振幅の時間積分に現れる定義不能なディラックのデルタ関数を、滑らかな減衰関数 $\widehat{\rho}$ から導かれる正則化モリファイア $\rho_{\epsilon}(E)$ で置き換える。
• 遷移振幅を $S_{fi} = 2\pi \frac{Ze^2}{V} \frac{1}{\sqrt{E_f E_i}} \frac{1}{q^2} \rho_{\epsilon}(E_f - E_i)$ と定義し、ここで $\rho_{\epsilon}$ はコロンベーオ代数におけるディラック測度の代表元である。
• 一般化関数振幅に標準的な量子力学的規則 $W_{fi} = |S_{fi}|^2$ を適用し、コロンベーオ枠組み内での二乗が数学的にwell-definedであることを保証する。
• 得られる一般化関数がラザフォード断面積を再現するように、モリファイア $\rho$ に条件を課す：$\int \rho(z) dz = 1$、$\int z^n \rho(z) dz = 0$（$n=1,\dots,q$）、および $\rho(0) = \frac{1}{\pi}$。
• 逆フーリエ変換を用いて、無限大の平面波極限に漸近的に回復する滑らかな波パッケージ状態のクラスを構成する。
• モリファイアが導出した条件を満たす場合、$T \to \infty$（すなわち $\epsilon \to 0$）の極限が、正しい物理的断面積を与えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一順位摂動理論に現れるディラックのデルタ関数の二乗は、一貫性のある数学的枠組み内で厳密に定義可能か？
• RQ2 コロンベーオ一般化関数の使用は、量子力学における分布の積を扱う従来の恣意的な処理の数学的に整合性のある代替手段を提供するか？
• RQ3 一般化関数がラザフォード散乱断面積を再現するようにするには、モリファイア $\rho$ が満たすべき条件は何か？
• RQ4 量子場理論で用いられる標準的な平面波状態に対応する、物理的に意味のあるコロンベーオ一般化関数の部分集合は存在するか？
• RQ5 摂動理論の時間積分の正則化が、物理的内容を失うことなく、非線形一般化関数代数に一貫して埋め込めるか？

主な発見

• 第一順位摂動理論におけるエネルギー保存則を課すディラックのデルタ関数は、シュワーツ分布の特定の代表元の集合に属し、その代表元は二乗が明確に定義可能である。
• モリファイア $\rho_{\epsilon}$ をコロンベーオ代数に用いることで、遷移振幅を数学的に厳密に定義でき、その二乗（すなわち確率）も数学的に整合的になる。
• 一般化関数アプローチから導かれる微分断面積は、モリファイア $\rho$ が $\int \rho(z) dz = 1$、$\int z^n \rho(z) dz = 0$（$n=1,\dots,q$）、および $\rho(0) = \frac{1}{\pi}$ を満たす場合、ラザフォードの公式と一致する。
• この $\rho$ に関する条件は、一般化関数 $\rho_{\epsilon}$ が $\epsilon \to 0$ の極限でデルタ関数のように振る舞い、かつ $|\rho_{\epsilon}|^2$ がwell-definedであることを保証する。
• 滑らかな波パッケージ状態（モリファイア正則化と同等）の使用は、無限大の平面波極限を避ける物理的に整合性のある代替手段を提供し、分布論の数学的不整合を回避する。
• この枠組みは、フェルミの黄金律が物理的には正しいが、分布論においては数学的根拠を欠いていることを示し、コロンベーオ一般化関数においては厳密な基礎が得られることを示している。