[論文レビュー] First order strong approximations of scalar SDEs with values in a domain

Andreas Neuenkirch, Łukasz Szpruch|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非リプシッツ係数を有する一次元SDEの強近似を、定義域内に保つためのラムベールト変換に基づくバックワード・オイラー＝マルヤマスキームを提案する。SDEを定数拡散係数を持つものに変換し、ドリフト陰性のオイラースキームを適用した後、変換を逆転させることで、定義域を保持し、強収束次数1を達成する。この方法は、ファイナンスや生物学におけるCIR、CEV、アイト＝サライアモデルなどの主要モデルに適用可能である。

ABSTRACT

We are interested in strong approximations of one-dimensional SDEs which have non-Lipschitz coefficients and which take values in a domain. Under a set of general assumptions we derive an implicit scheme that preserves the domain of the SDEs and is strongly convergent with rate one. Moreover, we show that this general result can be applied to many SDEs we encounter in mathematical finance and bio-mathematics. We will demonstrate flexibility of our approach by analysing classical examples of SDEs with sublinear coefficients (CIR, CEV models and Wright-Fisher diffusion) and also with superlinear coefficients (3/2-volatility, Ait-Sahalia model). Our goal is to justify an efficient Multi-Level Monte Carlo (MLMC) method for a rich family of SDEs, which relies on good strong convergence properties.

研究の動機と目的

• 非リプシッツ係数を有するスカラSDEの定義域を保つ数値スキームの開発を目的とする。
• 古典的明示スキームの限界を克服し、このようなSDEに対して強収束次数1を達成することを目的とする。
• 数学的ファイナンスおよびバイオマスケティクスにおける非線形および超線形係数を有するSDEに一般化可能なフレームワークを提供することを目的とする。
• マルチレベルモンテカルロ法の効率性を裏付けるために、高次強収束を保証することを目的とする。
• 変換されたバックワード・オイラースキームと元のSDEにおけるドリフト陰性ミルシュタインスキームとの間の関係を確立することを目的とする。

提案手法

• 状態依存拡散係数を有する元のSDEを、定数拡散係数を持つSDEに変換するためのラムベールト変換を適用する。
• 安定性および定義域の保持を保証するバックワード・オイラー＝マルヤマ（BEM）スキームを用いて変換されたSDEを近似する。
• BEMスキームの解を逆ラムベールト変換により元のSDEの数値スキームに変換する。
• 非リプシッツ係数を扱い、正値性および単調性を維持するためにドリフト陰性形式を用いる。
• 変換された方程式におけるドリフトの片側リプシッツ性を活用し、事前推定およびモーメントバウンドを用いて収束を確立する。
• 逆変換の漸近展開を通じて、変換されたSDEにおけるBEMスキームと元のSDEにおけるドリフト陰性ミルシュタインスキームとの関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非リプシッツ係数を有するスカラSDEの定義域を保ち、強収束次数1を達成する数値スキームを構築可能か？
• RQ2 ラムベールト変換をどのようにして陰性スキームと組み合わせ、非線形および超線形拡散係数を効果的に扱えるか？
• RQ3 元のSDE係数にどのような条件を課すと、得られるスキームの強収束が保証されるか？
• RQ4 変換されたSDEにおけるバックワード・オイラー＝マルヤマスキームは、元のSDEにおける既知のドリフト陰性ミルシュタインスキームと同値か？
• RQ5 このフレームワークは、ファイナンスおよび生物学におけるSDEのマルチレベルモンテカルロ法の効率的実装を可能にするように一般化可能か？

主な発見

• 提案されたラムベールト＝オイラースキームは、やや厳しい仮定のもとで、離散化点における最大$L^p$距離において強収束次数1を達成する。
• CIR過程に対しては、条件$\frac{\kappa\theta}{\sigma^2} > \frac{3}{2}$のもとで、強収束次数1を達成する。これは、先行研究の$\frac{1}{2}$次収束を改善する。
• 標準的明示スキームとは異なり、初期値に関して正値性および単調性を保持する。
• 変換されたSDEにおけるバックワード・オイラースキームは、元のSDEにおけるドリフト陰性ミルシュタインスキームに対応し、新たな解釈と妥当性の裏付けを提供する。
• このフレームワークは、CEVモデル、ライツ＝ファイザー拡散、3/2ボラティリティモデル、アイト＝サライアモデルなど、広範なSDEクラスに適用可能であり、いずれも強収束次数1を達成する。
• ドリフト陰性ミルシュタインスキームの区分的線形補間に対して鋭い誤差推定が得られ、同じ条件下で$\mathbb{E}\left[\max_{t\in[0,T]}|y(t)-\overline{Z}_t|^2\right]^{1/2} \leq C \sqrt{\log(\Delta t)} \sqrt{\Delta t}$が成り立つ。