[論文レビュー] Inverting the Markovian projection, with an application to local stochastic volatility models

Daniel Lacker, Mykhaylo Shkolnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、マーカリアン射影の逆転を可能にする、2次元の McKean–Vlasov SDE に対する定常解の強力な存在および一意性を確立し、所望の周辺分布とより洗練されたダイナミクスを有する局所的確率的ボラティリティモデルの構築を可能にする。主な貢献は、ボラティリティ乗数関数が二乗である場合、不変分布が分解されることを証明し、定常状態における成分の独立性を保証することにある。

ABSTRACT

We study two-dimensional stochastic differential equations (SDEs) of McKean--Vlasov type in which the conditional distribution of the second component of the solution given the first enters the equation for the first component of the solution. Such SDEs arise when one tries to invert the Markovian projection developed by Gyöngy (1986), typically to produce an Itô process with the fixed-time marginal distributions of a given one-dimensional diffusion but richer dynamical features. We prove the strong existence of stationary solutions for these SDEs, as well as their strong uniqueness in an important special case. Variants of the SDEs discussed in this paper enjoy frequent application in the calibration of local stochastic volatility models in finance, despite the very limited theoretical understanding.

研究の動機と目的

• 局所的確率的ボラティリティモデルのキャリブレーションにおけるマーカリアン射影の逆転に理論的基盤が欠如しているという問題に対処すること。
• このような逆転から生じる2次元の McKean–Vlasov SDE のクラスに対する定常解の存在および一意性を確立すること。
• 特にボラティリティ乗数関数が二乗である条件下での、得られたSDEの不変分布を同定すること。
• 定常積形式分布を保つ時間変更拡散過程を厳密に数学的枠組みで提供すること。

提案手法

• 第1成分の drift 及び diffusion 係数が第2成分の関数の条件付き期待値に依存する2次元SDEを定式化する。
• 強力な存在および一意性を保証するため、係数（drift, diffusion, 乗数関数）に正則性およびエルゴード性条件を課す。
• Fokker-Planck 方程式および不変測度解析を用いて、連系過程の不変分布を同定する。
• 時間変更拡散過程の解釈を用いて、乗数関数が二乗である場合に不変測度が積形式を保つことを示す。
• エルゴード理論および弱一意性（Trevisanの定理を用いて）を適用し、一意な定常分布を同定する。
• 条件 $ h \equiv f^2 $ の下で、SDEの不変測度が個々の成分の周辺不変測度の積であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーカリアン射影の逆転から生じる2次元の McKean–Vlasov SDE が強定常解を有するための条件は何か？
• RQ2 このようなSDEの不変分布が周辺分布の積に分解されるのはどのような場合か？
• RQ3 関数 $ f^2 $ の二乗乗数関数が、定常状態における成分の独立性を保証する役割を果たすのはどのような仕組みか？
• RQ4 時間変更拡散過程は、非定数時間変更のもとでも、元のSDEと同一の不変測度をどのように維持するか？
• RQ5 係数に最小限の正則性仮定を課した場合でも、定常解の弱一意性を確立できるか？

主な発見

• 仮定 A の下で、2次元SDE (1.5) は一意な強定常解を有する。
• 条件 $ h \equiv f^2 $ の下で、SDEの不変分布は積測度であり、定常状態における成分の独立性を示唆する。
• 第1成分の定常分布は、元の1次元拡散過程の周辺分布と一致し、目的とする分布を保持する。
• 不変密度 $ p(x,y) $ が、$ h \equiv f^2 $ のとき明示的に $ m_1(x) m_2(y) $ に等しいことが示され、ここで $ m_1 $ および $ m_2 $ は個々の周辺SDEの定常密度である。
• 時間変更 $ \tau_t = \int_0^t f^2(Y_s) ds $ を用いた時間変更過程 $ (X_{\tau_t}, Y_t) $ は、非定数時間変更であっても、元のSDEと同一の不変分布を持つ。
• 定常解は法則において一意であり、$ h \equiv f^2 $ の下で不変測度の下で成分は独立である。