[論文レビュー] First time to exit of a continuous Itô process: general moment estimates and L1-convergence rate for discrete time approximations

Bruno Bouchard, Stefan Geiß+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、連続イト過程の境界からの最初の抜出し時間の一般化されたモーメント推定値を、境界までの距離に基づいて確立する。境界までの距離に基づく一般化されたモーメント推定値を用いて、離散的な抜出し時間（Eulerスキームからのもの）が、メッシュサイズに関して最適なレート 1/2 で L¹ ノルムにおいて真の抜出し時間に収束することを証明する。これは、拡散係数と境界挙動に関する弱い正則性条件のもとで、時間領域が有界でない場合でも成り立つ。

ABSTRACT

We establish general moment estimates for the discrete and continuous exit times of a general Itô process in terms of the distance to the boundary. These estimates serve as intermediate steps to obtain strong convergence results for the approximation of a continuous exit time by a discrete counterpart, computed on a grid. In particular, we prove that the discrete exit time of the Euler scheme of a diffusion converges in the L1 norm with an order 1/2 with respect to the mesh size.

研究の動機と目的

• 連続イト過程の最初の抜出し時間の一般化されたモーメント推定値を、境界までの距離の観点から導出すること。
• Eulerスキームを用いた離散時間近似における抜出し時間の強い収束レートを確立すること。
• 離散的抜出し時間のL¹収束速度に関する未解決の問題、特にεパラメータを用いずにレート1/2が達成可能かどうかを解明すること。
• 収束結果を有界でない時間領域に拡張し、従来の研究が有限時間領域に限定されていた制限を克服すること。
• マルコフ過程に依存しないフレームワークを提供し、従来の結果を拡散過程を超えて一般化すること。

提案手法

• 滑らかでない境界条件と一様な条件付き抜出し時間の上限を用いて、連続的および離散的抜出し時間の一般化されたモーメントバインディングを導出する。
• 一般のイト過程に適用可能な非マルコフ的設定における抽象的収束定理（定理3.1）を導入する。
• 連続的拡散過程とそのEuler近似との間のカップリングを用い、時間変換過程を導入して抜出し時間の差を制御する。
• 停止時刻の分解と、真の過程とEulerスキームとの間の精密なパスワイズ比較を用い、Euler誤差のモーメント推定値を活用する。
• 減衰関数φ(T)を含む、抜出し時間の均一な尾部推定（仮定(L)）を用いて、極端な逸脱を制御する。
• L¹ノルムにおける離散的・連続的抜出し時間の差の上界を導く確率的カップリングによる収束の確立

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Eulerスキームを用いた拡散過程の離散的抜出し時間近似における最適なL¹収束速度は何か？
• RQ2 εパラメータを用いずに、L¹ノルムにおける収束速度1/2が達成可能か、特に時間領域が無限大であっても成立するか？
• RQ3 一般のイト過程の文脈において、抜出し時間のモーメント推定値は境界までの距離にどのように依存するか？
• RQ4 PDEの手法に依存せずに、非マルコフ的フレームワークにおいて強い収束結果を確立できるか？
• RQ5 拡散係数および領域にどのような条件が課されれば、離散的抜出し時間がL¹ノルムで真の抜出し時間に収束するか？

主な発見

• Eulerスキームの離散的抜出し時間は、メッシュサイズに関して最適な収束速度1/2でL¹ノルムにおいて真の抜出し時間に収束する。
• この収束速度は、時間領域が無限大であっても達成可能であり、文献における未解決問題を解決する。
• 停止過程 (X_{t heta}) はL²ノルムでレート1/4で収束するが、これはL¹ノルムの収束速度と整合的である。
• 本稿は、境界までの距離に基づく一般化されたモーメント推定値を提供し、連続的および離散的抜出し時間の両方に適用可能である。
• 収束結果は弱い条件下で成り立つ：非特徴的境界条件と、抜出し時間の均一な尾部推定（仮定(L)）を満たす。
• 証明手法はPDEに基づく議論を回避し、標準的な拡散過程を超えた一般のイト過程に適用可能であり、従来の結果を一般化する。