[論文レビュー] Convergence Rates for Approximations of Functionals of SDEs

Rainer Avikainen|ArXiv.org|Dec 21, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、確率的微分方程式（SDE）の解の汎関数の近似における収束速度を確立する。特に、有界 Variation を持つ関数や指示関数のような非リプシッツ関数を扱う。SDE の解が強い収束速度 $\gamma$ で近似される場合、係数の有界密度および正則性条件の下で、関数 $g(X_T)$ の $L_p$-ノルムにおける誤差は任意の $\varepsilon > 0$ に対して $|\pi|^{\gamma - \varepsilon}$ のオーダーで減少することが示される。Euler スキームに対しては、$|\pi|^{1/2}$ の一致する下界が確立され、収束速度が任意に小さな $\varepsilon$ まで鋭いことが示される。結果は Euler および Milstein スキームに適用可能であり、リプシッツ連続でない汎関数への誤差解析を拡張する。

ABSTRACT

We consider upper bounds for the approximation error E|g(X)-g(\hat X)|^p, where X and \hat X are random variables such that \hat X is an approximation of X in the L_p-norm, and the function g belongs to certain function classes, which contain e.g. functions of bounded variation. We apply the results to the approximations of a solution of a stochastic differential equation at time T by the Euler and Milstein schemes. For the Euler scheme we provide also a lower bound.

研究の動機と目的

• SDE 近似の収束速度解析を、リプシッツ連続でない汎関数に拡張し、有界 Variation を持つ関数や指示関数を含むようにすること。
• Euler または Milstein スキームによる $X_T$ の近似 $\hat{X}_T$ を用いた $\mathbb{E}|g(X_T) - g(\hat{X}_T)|^p$ の上界を導出すること。
• Euler スキームに対して下界を確立し、収束速度が $|\pi|^{1/2}$ を超えることはできないことを示し、上界がほぼ鋭いことを示すこと。
• 収束速度が非リプシッツ関数 $g$ に対しても保たれる関数クラス（有界 Variation を持つ関数や尾分布によって制御されるジャンプ関数を含む）を同定すること。
• ブルホルダー＝デイヴィス＝ギュンディ型不等式およびグロワールの補題の精密な応用により、収束推定における明示的な定数を提供すること。

提案手法

• ブルホルダー＝デイヴィス＝ギュンディ型不等式を用いて、真の解 $X_t$ とその近似 $X_t^\pi$ の差の $L_p$-ノルムを評価し、特に Euler スキームに対して適用する。
• 指数的依存性を $p$ に含める形で、誤差のモーメントの増加を制御するための改良版グロワールの補題を適用する。
• 伊藤積分表現と駆動項および拡散係数のリプシッツ連続性を用いて、$X_t - X_s$ のモーメントを評価する。
• 有界 Variation を持つ関数を一般化し、$g$ の弱い正則性下でも $L_p$-誤差推定が可能な関数クラス $\mathcal{G}_{p,\varphi}$ を導入する。
• 真の解 $X_T$ の有界密度の仮定に基づき、誤差 $\mathbb{E}|g(X_T) - g(X_T^\pi)|^p$ を切断および尾確率推定を用いて分解し、収束速度を確立する。
• 幾何ブラウン運動を用いた反例により下界を示し、誤差が $|\pi|^{1/2}$ より速く収束することはできないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SDE の解の非リプシッツ関数 $g$ に対して、$\mathbb{E}|g(X_T) - g(X_T^\pi)|^p$ の収束速度は何か？
• RQ2 非リプシッツ関数 $g$ に対して、Euler スキームの収束速度は $|\pi|^{1/2}$ より改善可能か、あるいはこれが最適か？
• RQ3 Euler および Milstein スキームの収束速度は、$g$ の正則性にどのように依存するか。特に $g$ が有界 Variation を持つ、またはジャンプを持つ場合に。
• RQ4 どのような関数クラスが、元のスキームの収束速度よりも厳密に良い $L_p$-誤差バウンドを許容するか？
• RQ5 SDE の係数および終端分布にどのような条件下で、$g(X_T)$ の収束速度が元のスキームの速度と一致するか？

主な発見

• 任意の $\gamma > 0$ および $\varepsilon > 0$ に対して、近似 $X^\pi$ が $\|X_T - X_T^\pi\|_p \leq C_p^1 |\pi|^\gamma$ を満たす場合、有界 Variation を持つ関数や尾分布によって制御されるジャンプ関数を含む関数クラスに属するすべての $g$ に対して、$\mathbb{E}|g(X_T) - g(X_T^\pi)|^p \leq C_p^2 |\pi|^{\gamma - \varepsilon}$ が成り立つ。
• Euler スキームに対しては $\gamma = 1/2$ が成り立ち、$X_T$ の有界密度の仮定の下で、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\mathbb{E}|g(X_T) - g(X_T^E)|^p \leq C_p^2 |\pi|^{1/2 - \varepsilon}$ が成立する。
• Milstein スキームでは $\gamma = 1$ であり、誤差は $|\pi|^{1 - \varepsilon}$ のオーダーで減少し、$g$ が滑らかであるほど収束が速くなることが示される。
• Euler スキームに対しては、幾何ブラウン運動を用いた反例により、$|\pi|^{1/2}$ の下界が確立され、$|\pi|^{1/2 - \varepsilon}$ の収束速度がほぼ最適であることが示される。
• 関数クラス $\mathcal{G}_{p,\varphi}$ はすべての多項式を含み、有界 Variation を持つ関数およびジャンプ関数との和に関して閉じており、広範な適用可能性を有する。
• 上界の証明は、ブルホルダー＝デイヴィス＝ギュンディ型不等式およびグロワールの補題における明示的な定数に依存し、SDE のパスのモーメント推定により $p$ に対する指数的依存性が制御される。