[論文レビュー] Fixed-Parameter and Approximation Algorithms: A New Look

Rajesh Chitnis, MohammadTaghi Hajiaghayi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、Clique や Set Cover といった基本的な W[1]-hard および W[2]-hard 問題について、FPT 近似アルゴリズムに対する最初の条件付き下界を確立した。ETH および PGC の下で、Set Cover に対しては $k^{F_1}$ の近似比をもつ FPT 近似は存在せず、Clique に対しては $k^{1-\nabla}$ の近似比をもつ FPT 近似は存在しない。さらに、いくつかの W[1]-hard 問題について、多項式時間 $f(\text{OPT})$-近似を提示した。特に、Strongly Connected Steiner Subgraph については定数因子 FPT 近似が得られ、Marx による未解決の問題が解決された。

ABSTRACT

A Fixed-Parameter Tractable (\FPT) $ρ$-approximation algorithm for a minimization (resp. maximization) parameterized problem $P$ is an FPT algorithm that, given an instance $(x, k)\in P$ computes a solution of cost at most $k \cdot ρ(k)$ (resp. $k/ρ(k)$) if a solution of cost at most (resp. at least) $k$ exists; otherwise the output can be arbitrary. For well-known intractable problems such as the W[1]-hard {Clique} and W[2]-hard {Set Cover} problems, the natural question is whether we can get any \FPT-approximation. It is widely believed that both {Clique} and {Set-Cover} admit no FPT $ρ$-approximation algorithm, for any increasing function $ρ$. Assuming standard conjectures such as the Exponential Time Hypothesis (ETH) \cite{eth-paturi} and the Projection Games Conjecture (PGC) \cite{r3}, we make the first progress towards proving this conjecture by showing that 1. Under the ETH and PGC, there exist constants $F_1, F_2 >0$ such that the {Set Cover} problem does not admit an FPT approximation algorithm with ratio $k^{F_1}$ in $2^{k^{F_2}}\cdot ext{poly}(N,M)$ time, where $N$ is the size of the universe and $M$ is the number of sets. 2. Unless $\NP\subseteq \SUBEXP$, for every $1> δ> 0$ there exists a constant $F(δ)>0$ such that {Clique} has no FPT cost approximation with ratio $k^{1-δ}$ in $2^{k^{F}}\cdot ext{poly}(n)$ time, where $n$ is the number of vertices in the graph. In the second part of the paper we consider various W[1]-hard problems such as {\dst}, {\dsf}, Directed Steiner Network and {\mec}. For all these problem we give polynomial time $f( ext{OPT})$-approximation algorithms for some small function $f$ (the largest approximation ratio we give is $ ext{OPT}^2$).

研究の動機と目的

• Clique や Set Cover のような困難な問題に対して、FPT 近似アルゴリズムが存在しないと信じられているが、その存在を調査すること。
• ETH や PGC といった標準的仮説の下で、Set Cover および Clique の FPT 近似に対する条件付き下界を確立すること。
• Directed Steiner Tree や Edge Cover、SCSS といった W[1]-hard 問題に対して、多項式時間 $f(\text{OPT})$-近似アルゴリズムを設計すること。
• Marx が提起した、Strongly Connected Steiner Subgraph が定数因子 FPT 近似をもつかどうかという未解決問題を解決すること。

提案手法

• Exponential Time Hypothesis (ETH) および Projection Games Conjecture (PGC) を用いて、Set Cover および Clique の FPT 近似に対する条件付き下界を導出する。
• Multicolored Clique からの帰着を用いて、解のサイズをパrameterとする Minimum Size Edge Cover の W[1]-hardness を証明する。
• Directed Steiner Tree の FPT アルゴリズムを応用し、2-近似を得るために2つの有向木インスタンスを解くことで、Strongly Connected Steiner Subgraph に対する近似を構築する。
• k 個の辺を選択し、解のサイズを $\text{OPT}$ で上界付けることで、Minimum Size Edge Cover に対して多項式時間 $(\text{OPT}-1)$-近似を構築する。
• 既知の Directed Steiner Tree の FPT アルゴリズムを活用し、SCSS に対して定数因子 FPT 近似を構築する。
• FPT 近似が比 $\rho$ をもつことは、多項式時間 $\rho'(\text{OPT})$-近似をもつことを意味し、FPT 近似可能性と多項式時間近似可能性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ETH および PGC の下で、Set Cover は $k^{F_1}$ の近似比をもつ FPT 近似をもつか？
• RQ2 NP が SUBEXP に属さないという仮定の下で、Clique は $k^{1-\delta}$ の近似比をもつ FPT 近似をもつか？
• RQ3 Minimum Size Edge Cover や Directed Steiner Tree のような W[1]-hard 問題は、ある関数 $f$ に対して、多項式時間 $f(\text{OPT})$-近似をもつか？
• RQ4 Strongly Connected Steiner Subgraph は定数因子 FPT 近似をもつか？（Marx の未解決問題を解決する。）
• RQ5 W[2]-hard 問題のうち、多項式時間 $f(\text{OPT})$-近似、あるいは比 $\rho$ をもつ FPT 近似をもつものはあるか？

主な発見

• ETH および PGC の下で、Set Cover は定数 $F_1,F_2>0$ に対して、$2^{k^{F_2}}\cdot\text{poly}(N,M)$ 時間で $k^{F_1}$ の近似比をもつ FPT 近似をもたない。
• NP が SUBEXP に属さないという仮定の下で、Clique は任意の $\delta>0$ に対して、$2^{k^F}\cdot\text{poly}(n)$ 時間で $k^{1-\delta}$ の近似比をもつ FPT 近似をもたない。
• Minimum Size Edge Cover は多項式時間 $(\text{OPT}-1)$-近似をもち、解のサイズをパrameterとするとき W[1]-hard である。
• Strongly Connected Steiner Subgraph は定数因子 FPT 近似をもち、Marx の未解決問題が解決された。
• 本稿は、Directed Steiner Tree や Edge Cover を含むいくつかの W[1]-hard 問題について、最初の多項式時間 $f(\text{OPT})$-近似を提供した。最大の近似比は $\text{OPT}^2$ であった。
• 結果から、W[1] と W[2] の間に分離がある可能性が示唆され、W[2]-hard 問題で多項式時間 $f(\text{OPT})$-近似をもつものが知られていない。