[論文レビュー] Fixed Point Approximation of Suzuki Generalized Nonexpansive Mappings via New Faster Iteration Process

Nawab Hussain, Kifayat Ullah+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2018

Optimization and Variational Analysis参考文献 19被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、一様凸バナッハ空間におけるスズキ一般化非拡大写像の不動点を近似するための新しいK反復プロセスを導入する。解析的および数値的に、K反復プロセスがピカール-S、タクル・ニューやバタン二段階反復といった既存手法よりも収束が速いことを示しており、安定性、データ依存性、弱収束・強収束の定理も証明している。これにより、不動点理論における先行研究が拡張・一般化される。

ABSTRACT

In this paper we propose a new iteration process, called the K iteration process, for approximation of fixed points. We show that our iteration process is faster than the existing leading iteration processes like Picard-S iteration process, Thakur New iteration process and Vatan Twostep iteration process for contraction mappings. We support our analytic proof by a numerical example. Stability of K iteration process and data dependence result for contraction mappings by employing K iteration process is also discussed. Finally we prove some weak and strong convergence theorems for the Suzuki generalized nonexpansive mappings in the setting of uniformly convex Banach space. Our results are extension, improvement and generalization of many known results in the literature of fixed point theory.

研究の動機と目的

• スズキ一般化非拡大写像の不動点を近似するための新しい反復プロセス（K反復プロセス）を開発すること。
• 収縮写像に対して、K反復プロセスがピアソン・S、タクル・ニューやバタン二段階反復といった代表的既存反復手法よりも収束が速いことを、解析的および数値的に確立すること。
• 収縮写像におけるK反復プロセスの安定性およびデータ依存性に関する結果を証明すること。
• 一様凸バナッハ空間におけるスズキ一般化非拡大写像に対する弱収束および強収束定理を確立すること。
• 収束性の性質をより広範な写像クラスにまで拡張することで、既存の不動点理論の結果を一般化・改善すること。

提案手法

• パラメータαₙとβₙが区間[a,b]に属し、0 < a ≤ b < 1を満たす条件下で定義される、特定の再帰関係を用いた新しい二段階反復スキーム（K反復プロセス）を提案する。
• 収縮写像に対して、K反復プロセスがピカール-S、タクル・ニューやバタン二段階反復プロセスよりも収束が速いことを示すために、解析的比較手法を用いる。
• スズキが導入した条件(C)の概念を用いて、非拡大写像および収縮写像を一般化する一般化非拡大写像を定義する。
• バナッハ空間のオピアル性および一様凸性を応用して、K反復プロセスの弱収束および強収束定理を証明する。
• T(x) = (x+2)^(1/3) を区間[0,4]で定義した数値例を用い、K反復、ピカール-S、タクル・ニューやバタン二段階反復の収束速度を比較する。
• 条件(I)と関数fを用いて、写像Tが条件(I)を満たすと仮定したもとで、強い収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案されたK反復プロセスは、収縮写像に対してピカール-S、タクル・ニューやバタン二段階反復といった代表的既存反復手法よりも収束が速いか？
• RQ2 K反復プロセスは、写像または初期データに小さな摂動が加わった場合にも安定か？
• RQ3 K反復プロセスは、一様凸バナッハ空間におけるスズキ一般化非拡大写像に対して弱収束および強収束を達成できるか？
• RQ4 収縮写像に対するK反復プロセスによる不動点のデータ依存性はいかなるものか？
• RQ5 K反復プロセスは、他の既存の反復スキームと比較して、数値的に収束速度が速いか？

主な発見

• 解析的比較および数値的証拠により、収縮写像に対してK反復プロセスがピカール-S、タクル・ニューやバタン二段階反復プロセスよりも収束が速いことが確認された。
• T(x) = (x+2)^(1/3) を用いた数値例において、K反復プロセスは8反復目で不動点1.521379706804568に到達し、他の手法よりも収束速度が優れていた。
• 収縮写像に対してK反復プロセスが安定であることが証明され、入力や写像に小さな誤差が生じてもロバストであることが保証された。
• 不動点が写像パラメータに連続的に依存することを示すデータ依存結果が確立された。
• 写像Tが条件(I)を満たすと仮定したもとで、一様凸バナッハ空間およびパラメータ制約の下で、K反復プロセスは強い収束を達成する。
• 本稿では、非拡大写像および収縮写像を特別な場合として含むスズキ一般化非拡大写像へと収束性の結果を拡張することで、既存の収束結果を一般化・改善した。