[論文レビュー] Fixed-Time Extremum Seeking

Jorge I. Poveda, Miroslav Krstić|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2019

Extremum Seeking Control Systems参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、初期条件に依存しない所定の時間内に最適解に収束することを保証する固定時間 extremum seeking コントローラを提案する。非滑らか系に対する平均化理論を用いて導出された新規の勾配ベースおよびニュートンベースのダイナミクスを用いることで、静的および動的システムに対し固定時間収束を達成するアルゴリズムを構築した。特にニュートンベースのバージョンは、目的関数の性質に依存しない完全に割り当て可能な収束時間を提供する。

ABSTRACT

We introduce a new class of extremum seeking controllers able to achieve fixed time convergence to the solution of optimization problems defined by static and dynamical systems. Unlike existing approaches in the literature, the convergence time of the proposed algorithms does not depend on the initial conditions and it can be prescribed a priori by tuning the parameters of the controller. Specifically, our first contribution is a novel gradient-based extremum seeking algorithm for cost functions that satisfy the Polyak-Lojasiewicz (PL) inequality with some coefficient κ> 0, and for which the extremum seeking controller guarantees a fixed upper bound on the convergence time that is independent of the initial conditions but dependent on the coefficient κ. Second, in order to remove the dependence on κ, we introduce a novel Newton-based extremum seeking algorithm that guarantees a fully assignable fixed upper bound on the convergence time, thus paralleling existing asymptotic results in Newton-based extremum seeking where the rate of convergence is fully assignable. Finally, we study the problem of optimizing dynamical systems, where the cost function corresponds to the steady-state input-to-output map of a stable but unknown dynamical system. In this case, after a time scale transformation is performed, the proposed extremum seeking controllers achieve the same fixed upper bound on the convergence time as in the static case. Our results exploit recent gradient flow structures proposed by Garg and Panagou in [3], and are established by using averaging theory and singular perturbation theory for dynamical systems that are not necessarily Lipschitz continuous. We confirm the validity of our results via numerical simulations that illustrate the key advantages of the extremum seeking controllers presented in this paper.

研究の動機と目的

• 極値探索制御における慢性的なトランスジェント性能の問題、特に初期条件に応じて無限に増大する収束時間の問題に対処すること。
• 目的関数の導関数の知識を必要とせず、初期条件に依存しない所定の上界内に収束するモデルフリーの extremum seeking アルゴリズムを設計すること。
• 時間スケール変換と定常状態の入力-出力マッピングを活用することで、動的システムに対しても固定時間収束の保証を拡張すること。
• 非リプシッツ関数を扱う非滑らか系に対する一般化平均化理論と特異摂動論を用いて理論的基盤を確立し、収束解析のロバスト性を向上させること。
• 制約付き最適化、ゲーム理論的設定、固定時間収束を有する時間変動型最適化器への将来的な拡張を可能にするフレームワークを提供すること。

提案手法

• ポリャク-ロジャシュエイチ（PL）不等式を満たす目的関数に対して、収束時間の上界がPL定数κに依存する固定時間勾配ベース extremum seeking（FTGES）アルゴリズムを提案する。
• κに依存しない収束時間上界を実現するため、ニュートン様のダイナミクスを活用し、完全に割り当て可能な収束時間上界を持つ固定時間ニュートンベース extremum seeking（FTNES）アルゴリズムを導入する。
• 高周波振動と遅いダイナミクスの時間スケール分離構造を採用し、平均化理論を用いて遅いダイナミクスが勾配またはニュートン流れを模倣することを実現する。
• 非滑らかで非リプシッツな系に対する一般化平均化理論を用いて収束を分析し、古典的結果を非滑らか extremum seeking へと拡張する。
• 動的システムに対して時間スケール変換を適用し、その定常状態の入力-出力挙動を、固定時間収束を保証できる形に変換する。
• 標準的な勾配またはニュートン流れと一致する低次元平均ダイナミクスを導出し、閉ループ系が所定の時間内に最適解を追跡することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 静的最適化問題において、初期条件に依存しない固定時間収束を達成する extremum seeking コントローラを設計することは可能か？
• RQ2 収束時間上界を、目的関数の性質、特にPL定数κに依存せずに完全に割り当て可能にすることができるか？
• RQ3 安定な動的特性が未知の動的システムに対しても、定常状態の入力-出力マッピングを活用することで固定時間収束を拡張可能か？
• RQ4 extremum seeking で生じる非滑らか・非リプシッツ系を分析するため、平均化理論を一般化可能か？
• RQ5 提案されたフレームワークは、制約付き最適化や時間変動型最適化器など、より複雑な設定へと拡張可能か？

主な発見

• FTGESアルゴリズムは、PL定数κに依存する収束時間上界を有するが、初期条件に依存しない固定時間収束を達成する。
• FTNESアルゴリズムは、ニュートン様のダイナミクスを活用することで、κおよび初期条件に依存しない完全に割り当て可能な収束時間上界を達成する。
• 動的システムにおいても、時間スケール変換を施した後、静的ケースと同一の固定時間収束時間上界を達成する。
• 提案されたコントローラの低次元平均ダイナミクスは、標準的な勾配またはニュートン流れと一致し、適切な仮定のもとでグローバル最小値への収束を保証する。
• 数値シミュレーションにより理論的結果が確認され、初期条件に依存しない高速かつ有界な収束が実証された。
• 理論的分析は、非リプシッツ系に対する一般化平均化理論と特異摂動論を用いて構築され、先行研究を非滑らか extremum seeking へと拡張した。