[論文レビュー] Flat bundles and commutator lengths

R. İnanç Baykur|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$g \geq 2$ の曲面の写像類群における境界平行な曲線に沿ったドーン変換の $n$ 乗の交換子長について、初めの明示的証明を提供する。その値は $\lfloor (|n|+3)/2 \rfloor$ に等しい。プッシュ写像とミルナー＝ウッド不等式を用いて、平行でない断面を持つ平坦な曲面束を備えた、ペアワイズホモトピー的に異なる無限個の 4 次元多様体の族を構成する。このような平坦接続は断面を平行に保てない。これはベストヴィナ、チャーチ、サウトの結果を一般化し、モリータの非上昇定理の新たな証明を提供する。

ABSTRACT

The purpose of this article is two-fold: We first give a more elementary proof of a recent theorem of Korkmaz, Monden, and the author, which states that the commutator length of the n-th power of a Dehn twist along a boundary parallel curve on a surface with boundary S of genus g at least two is the floor of (|n|+3)/2 in the mapping class group of S. The alternative proof we provide goes through push maps and Morita's use of Milnor-Wood inequalities, in particular it does not appeal to gauge theory. In turn, we produce infinite families of pairwise non-homotopic 4-manifolds admitting genus g surface bundles over genus h surfaces with distinguished sections which are flat but admit no flat connections for which the sections are flat, for every fixed pairs of integers g and h at least two. The latter result generalizes a theorem of Bestvina, Church, and Souto, and allows us to obtain a simple proof of Morita's non-lifting theorem (for an infinite family of non-conjugate subgroups) in the case of marked surfaces.

研究の動機と目的

• 境界付き曲面の写像類群における $t_\delta^n$ の交換子長について、ゲージ理論を避けてより初等的な証明を与えること。
• 平坦な曲面束を備えた、区別された断面を持つペアワイズホモトピー的に異なる無限個の 4 次元多様体の族を構成すること。しかし、その断面を平行にする平坦接続は存在しない。
• アティヤ＝コダイラ束に関するベストヴィナ、チャーチ、サウトの結果を、非正則的かつシンプレクティックな 4 次元多様体に一般化し、同じ幾何的障害をもつものとする。
• ゲージ理論を用いないトポロジー的構成により、マーク付き曲面の写像類群における非共轭部分群に対するモリータの非上昇定理の新たな証明を与えること。

提案手法

• ゲージ理論的手法に代えて、曲面束のオイラー類を分析するためにプッシュ写像とミルナー＝ウッド不等式を用いる。
• 一般化されたランタン関係を用いたモノドロミー因子分解により、所望の写像類群の元を実現する。
• 自己自己交叉数による平坦接続の障害を応用する（命題 3）：断面が平行でないのは、その自己自己交叉数が非ゼロであり、かつ 4 で割り切れない場合に限る。
• ホモロジー計算（$H_1(X_m) = \mathbb{Z}^{2h+2g-3} \oplus \mathbb{Z}_m$）を用いて、多様体をホモトピー的に区別する。
• 断面の和とファイバー和の操作を用いて、初期の束を安定化させ、ホモトピー的に異なる無限個の全空間の族を得る。
• 互いに素な断面（自己自己交叉数が 0 のものと非ゼロのもの）の存在を活用し、非上昇可能なモノドロミー表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $g \geq 2$ の曲面における境界平行なドーン変換 $t_\delta$ に対し、$\operatorname{Map}(\Sigma)$ 内での $t_\delta^n$ の交換子長は何か？
• RQ2 平坦な曲面束であるが、特定の断面を平行にする平坦接続を持たない無限個の 4 次元多様体の族を構成できるか？
• RQ3 ゲージ理論を用いないトポロジー的構成により、モリータの非上昇定理を再証明できるか？
• RQ4 非平行化可能な断面を備えたこのような平坦束は、必ずしも複素構造を持つのか？
• RQ5 断面の自己自己交叉数は、曲面束における平坦接続の存在をどのように妨げるか？

主な発見

• $t_\delta^n$ の $\operatorname{Map}(\Sigma)$ 内での交換子長は $\lfloor (|n|+3)/2 \rfloor$ に等しく、$g \geq 2$ の写像類群において非ゼロの安定交換子長を初めて正確に計算したものである。
• $g,h \geq 2$ かつ $g=2$ のとき $h \geq 4$ を満たすすべての $g,h$ に対して、平坦接続を持つが、区別された断面を平行にする平坦接続を持たない、ペアワイズホモトピー的に異なる無限個の 4 次元多様体 $X_m$ と $Y_m$ の族が存在する。
• $X_m$ と $Y_m$ は、どちらの向きに対しても複素構造を備えていないが、シンプレクティックであるため、断面の平坦性の障害には正則性は必要でない。
• 断面 $S$ の自己自己交叉数（$X_m$ では $2h-2$、$Y_m$ では $2h-4$）は、命題 3 により、$S$ が平行となる平坦接続の存在を妨げる。
• $r$ 個のマーク付き点を持つ $\mu_{f_m}: \pi_1(\Sigma_h) \to \operatorname{Map}(\Sigma)$ のモノドロミー表現は、$\operatorname{Diff}^+(\Sigma)$ に上昇しない。$g,h \geq 2$ のとき、これは無限個の非共轭部分群を与える。
• $H_1(X_m) = \mathbb{Z}^{2h+2g-3} \oplus \mathbb{Z}_m$ および $H_1(Y_m) = \mathbb{Z}^{2h+1} \oplus \mathbb{Z}_m$ により、$m$ が異なる限り $X_m$ と $Y_m$ はペアワイズホモトピー的に異なる。