[論文レビュー] Flat bundles, von Neumann algebras and $K$-theory with $\\R/\\Z$-coefficients

Paolo Antonini, Sara Azzali+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、閉多様体 $M$ 上の平坦ユニタリ表現 $\alpha: \pi_1(M) \to U_n$ に関連する $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$-係数 $K$-理論的類 $[\alpha]$ を、有限フォン・ノイマン代数 $B$ に関する相対 $K$-理論を用いて、標準的かつ作用素代数的構成によって与える。主な結果として、$[\alpha]$ と楕円的自己共役作用素 $D$ の $K$-ホモロジー類とのペアリングが、スペクトルフローとフォン・ノイマントレースの手法を用いて $\mathbb{Z}$ を法として $\rho$ 不変量に一致することを示している。

ABSTRACT

Let $M$ be a closed manifold and $\\alpha : \\pi_1(M)\ o U_n$ a representation. We give a purely $K$-theoretic description of the associated element $[\\alpha]$ in the $K$-theory of $M$ with $\\R/\\Z$-coefficients. To that end, it is convenient to describe the $\\R/\\Z$-$K$-theory as a relative $K$-theory with respect to the inclusion of $\\C$ in a finite von Neumann algebra $B$. We use the following fact: there is, associated with $\\alpha$, a finite von Neumann algebra $B$ together with a flat bundle $\\cE\ o M$ with fibers $B$, such that $E_\\a\\otimes \\cE$ is canonically isomorphic with $\\C^n\\otimes \\cE$, where $E_\\alpha$ denotes the flat bundle with fiber $\\C^n$ associated with $\\alpha$. We also discuss the spectral flow and rho type description of the pairing of the class $[\\alpha]$ with the $K$-homology class of an elliptic selfadjoint (pseudo)-differential operator $D$ of order 1.

研究の動機と目的

• 閉多様体 $M$ 上の平坦ユニタリ表現 $\alpha$ に関連する $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$-係数 $K$-理論的類 $[\alpha]$ を、完全に $K$-理論的かつ作用素代数的手段によって記述すること。
• $B$ を ${\rm II}_1$-因子とするとき、$\mathbb{C} \hookrightarrow B$ の包含に関して、$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$-係数 $K$-理論と相対 $K$-理論との間の標準的同型を確立すること。
• 楕円的自己共役作用素 $D$ の $K$-ホモロジー類との $[\alpha]$ のペアリングを、スペクトルフローと $\mathbb{Z}$ を法とする $\rho$ 不変量として、フォン・ノイマントレースと接続を用いて計算すること。
• コhomologicalな構成を作用素代数的モデルに置き換えることによって、平坦バンドルに対するアティヤ–パトディ–サインの指数定理を一般化すること。

提案手法

• 相対 $K$-理論 $K_*(A \to A \otimes B)$ を用い、$B$ を ${\rm II}_1$-因子とする。$\mathbb{C} \hookrightarrow B$ の単位包含のマッピングコーンを通じて、$K^*(M; \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ をモデル化する。
• $\alpha$ から、ファイバーが $B$ である平坦バンドル $\mathcal{E} \to M$ を構成し、$E_\alpha \otimes \mathcal{E} \cong \mathbb{C}^n \otimes \mathcal{E}$ となるようにする。これにより、$K^1(M; \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 内での類 $[\alpha]$ の標準的同定が可能になる。
• $[D] \in K_1(M)$ とのペアリングはカスパロフ積として実現され、パスに沿った作用素のスペクトルフローが $\mathbb{Z}$ を法とする $\rho$ 不変量の計算に用いられる。
• エータおよび $\rho$ 不変量は、フォン・ノイマントレースと熱核トレースを用いて定義され、スペクトルゼータ関数の $\varepsilon$-正則化によって局所項の収束が保証される。
• $C^*$-代数のブートストラップ圏における Künneth 性質により、$B$ の選択に依存しないことが示される。
• 有理数 $\mathbb{Q}$、整数 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$、有理数を整数で割ったもの $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 係数の $K$-理論の作用素代数的定義を通じて、古典的モデル（例：APS、カロービ、ロット）との同等性が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦ユニタリ表現 $\alpha$ に関連する $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$-係数 $K$-理論的類 $[\alpha]$ を、コhomologicalな道具を一切用いずに、$K$-理論とフォン・ノイマン代数のみを用いてどのように構成できるか。
• RQ2 平坦バンドルの文脈において、自己共役楕円作用素のパスのスペクトルフローと $\mathbb{Z}$ を法とする $\rho$ 不変量との正確な関係は何か。
• RQ3 $[\alpha]$ と楕円作用素 $D$ の $K$-ホモロジー類 $[D]$ のペアリングがカスパロフ積として実現され、$\rho$ 不変量として表現可能か。
• RQ4 フォン・ノイマントレースと熱核トレースは、$B$-バンドルの非可換的設定において、$\eta$-不変量と $\xi$-不変量を一貫して定義可能か。
• RQ5 提案された $K^*(M; \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ のモデルが、標準的同型を通じてアティヤ–パトディ–サインのモデルと同等か。

主な発見

• $[\alpha] \in K^1(M; \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ は、${\rm II}_1$-因子 $B$ を用いた相対 $K$-理論 $K_*(\mathbb{C} \to \mathbb{C} \otimes B)$ の元として標準的に構成され、Künneth 性質により $B$ の選択に依存しない。
• $[\alpha]$ と $[D] \in K_1(M)$ のペアリングは、スペクトルフローと熱核の $\varepsilon$-正則化トレースを用いて $\mathbb{Z}$ を法として $\rho(\alpha, D)$ に一致することが示された。
• 自己共役作用素のパスのスペクトルフロー $\mathrm{sf}_a(G_0, G_1)$ を用いて、$K_1(C_0(]0,1[) \otimes B)$ 内での $(V, \varphi(G))$ の類が計算され、$\mathrm{sf}_a(G_0, G_1) = \lambda$ のとき結果は $j(\lambda)$ に一致する。
• 有限フォン・ノイマン代数 $B$ 係数の作用素に対する $\eta$-不変量はトレース $\mathrm{Tr}_N$ を用いて定義され、その $\varepsilon$-正則化は、チェーン–シモンズ類を含む局所項に収束する。
• 局所性と $G_0, G_1$ が同じ平坦バンドルでねじれられていることから、$\theta(G_0, G_1) = 0$ が示され、APS指数定理と整合的であることが確認された。
• 包含 $\mathbb{C} \hookrightarrow B$ を用いた相対 $K$-理論による $K^*(M; \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ のモデルが、標準的同型を通じて古典的APSモデルおよび他のモデル（例：カロービ、ロット）と同等であることが示された。