[論文レビュー] Flat connections and (co)modules

Tomasz Brzeziński|ArXiv.org|Aug 7, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、エンティング構造から構築されたコリング上のコモジュールと非可換微分幾何における平坦接続の間の一般的対応関係を確立する。$C$-リングを用いて、反ヤッター＝ドリンフェルドおよびヤッター＝ドリンフェルド加群を平坦接続を持つコモジュールとして解釈することで、ホップ-サイクルコhomology加群を一つの枠組みに統一し、半無限コホモロジーへの応用を含めたより広範な代数的設定へと既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

The relationship between comodules of a coring and flat connections is reviewed. In particular we specialise to corings which are built on a tensor product of algebra and a coalgebra. Such corings are in one-to-one correspondence with entwining structures, and their comodules are entwined modules. These include Yetter-Drinfeld and anti-Yetter-Drinfeld modules and their generalisations, hence all the modules of interest to Hopf-cyclic cohomology. In this way the interpretation of the latter as modules with flat connections [A Kaygun and M Khalkhali, Hopf modules and noncommutative differential geometry, Lett. Math. Phys. 76 (2006), 77--91] is obtained as a corollary of a more general theory. We also introduce the notions of a connection in a comodule and of a bicomodule connection, and show how comodules with flat connections can be interpreted as modules of a C-ring. In this way all the above mentioned Hopf modules can be interpreted as comodules with flat connections.

研究の動機と目的

• ホップ型加群（ヤッター＝ドリンフェルドおよび反ヤッター＝ドリンフェルド加群を含む）を、平坦接続を持つコモジュールとして統一的に解釈すること。
• コリングと$C$-リングを用いることで、非可換幾何における平坦接続と加群の関係を一般化すること。
• コモジュールおよびバイコモジュールにおける接続を導入することで、双対的視点を提供し、既知の結果をコモジュール的枠組みへと拡張すること。
• エンティング加群（ホップ-サイクルコhomologyに関連するものも含む）が、$C$-リングを介して自然に平坦接続を持つコモジュールとして生じることを示すこと。
• この枠組みを半無限コホモロジーと結びつけ、$C$-リングがそのようなコホモロジー理論の自然な代数的言語であることを示すこと。

提案手法

• 代数$A$とコモジュール$C$からコリング$\mathcal{C} = A \otimes C$を構成し、余乗法$\Delta_{\mathcal{C}}(a \otimes c) = a \otimes 1 \otimes c$と余単位$\varepsilon_{\mathcal{C}}(a \otimes c) = \mu(a \otimes c)$を備え、$A$-コリングを形成する。
• ロイターの定理を用いて、群的要素を備えたコリングと半自由な微分的可換代数$\Omega A = T_A(\Omega^1 A)$との間の全単射対応を確立する。
• 右余作用$\varrho^M: M \to M \otimes_A \mathcal{C}$から導かれる平坦接続$\nabla: M \to M \otimes_A \mathcal{C}$を用いて、コモジュールにおける接続の概念を導入する。
• $C$-リング$\mathcal{A} = C \otimes A$を定義し、乗法と単位を示し、エンティング加群が右$\mathcal{A}$-加群と同型であることを示す。
• $\overline{\mathcal{A}} = C \otimes \overline{A}$（ここで$\overline{A} = A/k1$）にコデリバティブ$\lambda$を適用し、文字$\kappa = \varepsilon \otimes \chi$を用いて平坦接続を定義する。
• 反ヤッター＝ドリンフェルド加群に特化する場合、$\mathcal{A}_{aYD} = H \otimes H$とし、$\kappa = \varepsilon \otimes \varepsilon$として、接続$\nabla(m \otimes \overline{a}) = ma - m\varepsilon(a)$の明示的形を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エンティング加群（ヤッター＝ドリンフェルドおよび反ヤッター＝ドリンフェルド加群を含む）を、平坦接続を持つコモジュールとして体系的に記述する方法は何か？
• RQ2 $C$-リングがコモジュールにおける平坦接続のための双対的代数的枠組みを提供する役割は何か？
• RQ3 平坦接続とコモジュールの対応関係がホップ代数を超えてエンティング構造へと一般化される方法は？
• RQ4 $\overline{\mathcal{A}}$上のコデリバティブが、ホップ-サイクルコホモロジーにおける既知の例を統一的に定義する平坦接続を定義するために使用可能か？
• RQ5 $C$-リングが半無限コホモロジーおよび関連加群の構造を自然に表現する方法は何か？

主な発見

• エンティング加群（反ヤッター＝ドリンフェルドおよびヤッター＝ドリンフェルド加群を含む）が、コリング$\mathcal{C} = A \otimes C$上のコモジュールとして示され、余作用から平坦接続が生じることを示した。
• 平坦接続を持つ加群と、群的要素を備えたコリング上の非余単位的右余作用との間の全単射対応を確立した。
• $C$-リング$\mathcal{A} = C \otimes A$は、エンティング加群が$\mathcal{A}$-加群であること、および平坦接続がコデリバティブ$\lambda$を介して誘導されることを示す双対的枠組みを提供する。
• ホップ代数$H$上の反ヤッター＝ドリンフェルド加群に対して、平坦接続は明示的に$\nabla(m \otimes \overline{a}) = ma - m\varepsilon(a)$として与えられ、$H$が可換であればこの接続は消える。
• コデリバティブ$\lambda(c \otimes \overline{a}) = S^{-1}(a_{(1)}) c a_{(2)} - \varepsilon(a)c$は、$C$-リング構造と文字$\kappa = \varepsilon \otimes \varepsilon$から導出され、平坦接続をもたらす。
• KaygunとKhalkhaliの結果を一般化し、ホップ-サイクルコホモロジー加群が自然に$C$-リング構成を介した平坦接続を持つ加群として解釈されることを示した。