[論文レビュー] Flat rank 2 vector bundles on genus 2 curves

Viktoria Heu, Frank Loray|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、種数2の曲線上のトレースフリーで非可約なランク2接続のモジュライ空間を構成し、研究する。双曲的対合を用いて、これらの接続をリーマン球面上の対数的接続へと降下させる。主な貢献は、接続から基底となるベクトル束への忘却写像のラグランジュ的で有理型なセクションを明示的に構成することであり、これにより古典的なクーメル面の(16,6)-配置の幾何的現象が説明され、2次被覆によるボロネーゼのピカード族が回復される。

ABSTRACT

We study the moduli space of trace-free irreducible rank 2 holomorphic connections over a complex projective curve of genus 2 and the forgetful map towards the moduli space of underlying vector bundles (including unstable bundles), for which we compute a natural Lagrangian rational section. As a particularity of the genus $2$ case, connections as above are invariant under the hyperelliptic involution : they descend as rank $2$ logarithmic connections over the Riemann sphere. We establish explicit links between the well-known moduli space of the underlying parabolic bundles with the classical approaches by Narasimhan-Ramanan, Tyurin and Bertram. This allow us to explain a certain number of geometric phenomena in the considered moduli spaces such as the classical $(16,6)$-configuration of the Kummer surface. We also recover a Poincaré family due to Bolognesi on a degree 2 cover of the Narasimhan-Ramanan moduli space. We explicitly compute the Hitchin integrable system on the moduli space of Higgs bundles and compare the Hitchin Hamiltonians with those found by vanGeemen-Previato. We explicitly describe the isomonodromic foliation in the moduli space of vector bundles with $\mathfrak{sl}_2({\mathbb C})$-connection over curves of genus 2 and prove the transversality of the induced flow with the locus of unstable bundles.

研究の動機と目的

• 種数2の曲線上のトレースフリーで非可約なランク2接続のモジュライスタックを構築し、分析すること。
• 接続から基底となるベクトル束への忘却写像の幾何的構造、特に不安定な束が果たす役割を理解すること。
• 双曲的対合を用いて、種数2曲線上の平坦接続をリーマン球面上の対数的接続へと関連付けること。
• パラボリック束のモジュライ空間を用いて、古典的な幾何的配置（例えばクーメル面の(16,6)-配置）を説明すること。
• ナラシンハム＝ラマナムのモジュライ空間の2次被覆上でのボロネーゼのピカード族を回復・再解釈すること。

提案手法

• 種数2曲線上の双曲的対合を用い、商写像 π: X → P¹ を介して、ランク2の平坦接続をリーマン球面上の対数的接続へと降下させる。
• ワイエルシュトラス点の臨界除集合を用いて、X 上の平坦接続と X/ι = P¹ 上のパラボリック対数的接続との間の直接的な代数的対応を確立する。
• 接続のモジュライスタックの明示的アトラスを構成し、商空間上の顕著写像を定義して、忘却準同型の解析を行う。
• ヒチン可積分系をヒッグス束のモジュライ空間上で明示的に計算し、ヴァン・ジーメン＝プリヴィアトのハミルトニアンと比較する。
• ダーボックス座標とハミルトニアン系を用いて、等モノドロミー変形を研究し、等モノドロミーfoliationがガンニング束の部分集合に横断的であることを証明する。
• 射影的構造とシュワーツィアン微分を用いて、ガンニング束上の接続とモノドロミー表現との関係を関係づけ、ヘイハルの定理の新たな証明を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的対合は、種数2曲線上の平坦ランク2接続をどのようにしてリーマン球面上の対数的接続へと降下可能にするか？
• RQ2 接続のモジュライ空間からベクトル束のモジュライ空間への忘却写像の幾何的構造は何か？また、自然なセクションをもつのか？
• RQ3 パラボリック束のモジュライ空間と接続を用いて、古典的なクーメル面の(16,6)-配置をどのように説明できるか？
• RQ4 ヒッグス束モジュライ空間上のヒチン系とヴァン・ジーメン＝プリヴィアトの古典的公式との正確な関係は何か？
• RQ5 等モノドロミーfoliationは不安定なガンニング束の部分集合に横断的か？また、これはヘイハルの定理とどのように関係するか？

主な発見

• トレースフリーでランク2の接続のモジュライ空間からベクトル束のモジュライ空間への忘却写像は、双曲的降下を用いて自然なラグランジュ的有理型セクションを持つことが示された。
• 種数2曲線上のすべての非可約な平坦ランク2接続は双曲的対合に関して不変であり、ワイエルシュトラス点に極を持つリーマン球面上の対数的接続へと降下する。
• P¹ 上のパラボリック束のモジュライ空間は、X 上の接続のモジュライ空間と同型であり、古典的なクーメル面の(16,6)-配置の幾何的実現を与える。
• 本稿では、双曲的対応を用いて、ナラシンハム＝ラマナムのモジュライ空間の2次被覆上でのボロネーゼのピカード族を回復した。
• ヒッグス束モジュライ空間上でヒチンのハミルトニアンを明示的に計算した結果、ヴァン・ジーメン＝プリヴィアトの公式と一致することが確認された。
• 等モノドロミーfoliationはガンニング束の部分集合に横断的であり、モノドロミー写像の局所微分同相性に関するヘイハルの定理の新たな証明が得られた。