[論文レビュー] Flat Spacetimes with Compact Hyperbolic Cauchy Surfaces

Francesco Bonsante|ArXiv.org|Nov 3, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、次元 2 の場合にメスが確立した、コンパクトな双曲的コーシー面をもつ平坦ローレンツ時空の理論を、任意の次元 $ n \geq 2 $ に一般化する。各ホロノミー表現 $ \rho $ に対して、標準的な未来完全時空 $ Y_{\rho} $ を構成する。この研究では、双曲空間内の $ \Gamma $-不変ジオデシックストラティフィケーションと、このような時空の過去における特異性の間に双対性を確立し、次元 2 における測度付きリーマン・ラミネーションと時空の既知の対応関係を、特に単体的特異性を持つ場合に高次元へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study the flat (n+1)-spacetimes admitting a Cauchy surface diffeomorphic to a compact hyperbolic n-manifold. We show how to construct a canonical future complete one among all such spacetimes sharing the same holonomy. We study the geometry of such a spacetime in terms of its canonical cosmological time. In particular we study the asymptotic behaviour of the level surfaces of the cosmological time. The present work generalizes the case n=2 treated by Mess, taking from a work of Benedetti and Guadagnini the emphasis on the fundamental role played by the canonical cosmological time.

研究の動機と目的

• 次元 2 におけるコンパクトな双曲的コーシー面をもつ平坦ローレンツ時空の分類を、任意の次元 $ n \geq 2 $ に拡張すること。
• 各ホロノミー表現 $ \rho $ に対して、宇宙論的時間を標準的時間関数として用いて、標準的な未来完全時空 $ Y_{\rho} $ を構成すること。
• 双曲空間 $ \mathbb{H}^n $ 内の $ \Gamma $-不変ジオデシックストラティフィケーションと、このような時空の過去における特異性との間に双対性を確立すること。
• 次元 2 における測度付きジオデシックラミネーションと時空の既知の対応関係を、高次元へと一般化し、特に単体的特異性を持つ時空に対して行うこと。

提案手法

• 未来完全時空上で、有限で、因果曲線に沿って増加し、非延長可能な過去向き因果曲線に沿って 0 に近づく標準的宇宙論的時間（CT）関数 $ \tau $ を定義する。
• Minkowski 空間 $ \mathbb{M}^{n+1} $ 内で、ホロノミー群 $ \Gamma \subset \mathrm{SO}^+(n,1) $ のアフィン変形 $ \Gamma_{\tau} $ に対して、一意的な $ \Gamma_{\tau} $-不変な凸領域 $ \mathcal{D}_{\tau} $ を、領域の依存性として構成する。
• 各時空に対して、CT 水平面 $ \widetilde{S}_a = \tau^{-1}(a) $ のガウス写像を用いて、$ \mathbb{H}^n $ 内の $ \Gamma $-不変ジオデシックストラティフィケーションを定義する。
• 領域の依存性の過去における特異性を用いて、双対な実木（real tree）を定義し、スコラの双対定理によりジオデシックストラティフィケーションと双対化する。
• 単体的特異性を持つ時空に対して、$ \Gamma $-不変な測度付き単体的ストラティフィケーションとそれらの時空との間の全単射対応を示す。
• 測度付きジオデシックストラティフィケーションが、時空の幾何から再構成可能となる条件を確立する。特に、リトラクション写像 $ N: \widetilde{S}_1 \to \mathbb{H}^n $ と、リプシッツ路の微分の押し出しを用いて横断的測度を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メスが次元 2 で確立した、測度付きジオデシックラミネーションと未来完全平坦時空の双対性は、高次元へと拡張可能か？
• RQ2 標準的宇宙論的時間関数を用いることで、次元の高い場合におけるコンパクトな双曲的コーシー面をもつ未来完全平坦時空をどのようにパrametrize し、分類できるか？
• RQ3 高次元 Minkowski 時空における未来完全な領域の依存性の過去における特異性の幾何的構造は何か？
• RQ4 $ \Gamma $-不変ジオデシックストラティフィケーションが、明確で正則な宇宙論的時間をもつ時空に対応するための条件は何か？
• RQ5 次元 $ \mathbb{H}^n $ 内の $ \Gamma $-不変測度付き単体的ストラティフィケーションと、過去に単体的特異性をもつ未来完全時空との間には、全単射対応が存在するか？

主な発見

• 任意のコサイクル $ \tau \in Z^1(\Gamma, \mathbb{R}^{n+1}) $ に対して、一意的な未来完全で正則な領域 $ \mathcal{D}_{\tau} \subset \mathbb{M}^{n+1} $ が存在し、$ \Gamma_{\tau} $-不変である。これは次元 2 の場合の一般化である。
• 宇宙論的時間関数の水準面 $ \widetilde{S}_a = \tau^{-1}(a) $ は厳密に凸であり、そのガウス写像により $ \mathbb{H}^n $ 内の $ \Gamma $-不変ジオデシックストラティフィケーションが得られる。
• 領域の依存性の過去における特異性は、ジオデシックストラティフィケーションと双対な実木であり、$ \Gamma $ のこの木への作用は、$ a \to 0 $ のとき $ \widetilde{S}_a $ 上の $ \Gamma $ の作用のグロモフ極限として得られる。
• 単体的特異性を持つ時空に対しては、$ \mathbb{H}^n $ 内の $ \Gamma $-不変測度付き単体的ストラティフィケーションとそれらの時空との間で全単射対応が成立する（命題 9.11）。
• 一般に $ n \geq 3 $ の場合、CT 水準面のリトラクションから横断的測度を構成する方法は失敗する。これは次元 2 で用いられる重要な不等式が成立しないことによる。
• 測度付きジオデシックストラティフィケーションと時空の対応関係は、一般には $ n \geq 3 $ で未解決であるが、単体的特異性を持つクラスでは成立する。